Apri il menu principale
Portal Artícuj relazziunaa a Matemàtega

Nota: cupá ín la significazziú da tajá al è atestaa íntal LSI, limitadameent a l'uperazziú fada sü un mazz da carte: in cheest artícul sa l'a druvaa la parola in manera estesa, cuma tajá; l'azziú la vegn indicada gjuntaant ul süfiss -meent


In matemàtega, i nümar reaj i pöö, da manera fisc infurmala, vess cuncepii cuma töcc i nümar sucjaa a da le lunghezze u grandezze físeghe. I è i nümar, pusitiif, negatiiif u nüll, igaant una representazziú decimala finida u infinida. Otrameent dii, i è i razziunaj (ch’i pöö sa scriif sota furma da frazziú) cumpletaa paj nümar a representazziú decimala infinida mia periòdica: e.g. la ariis quadrada da 2 e π. Chiist darée i è cjamaa nümar irazziunaj. Intra i nümar reaj sa i distinguiss i nümar algebraich e i nümar trascendeent.

Ul tèrmin da nümar reaal al parisseva par la prima völta cun Georg Cantor al 1883 in le suve püblicazziú sü i fundameent da la teuría di cungjuunt. Al è un retrònim, daa in risposta a la descuverta di nümar imaginari. I nümar reaj i è al céntar da la disciplina matemàtega da l'anàlisi reala, a la quala i deef una granda paart da la suva stòria.

Representazziú da la reta di reaj cun di esempi da custante reale

I nümar reaj in la vita da töcc i díModifica

I nümar reaj i pöö representá qual-sa-vöör misüra físega cuma:

  • ul prezz d'un prodüit,
  • la dürada intra düü avenimeent, l'altezza (pusitiva u negativa) d'un sitt geugràfich,
  • la massa d'un àtum
  • la distanza da la plüü luntana de le galàssie.

Una paart di nümar reaj al è druvada töcc i dí, par esempi in ecunümía, in infurmàtega, in matemàtega, in físega u in ingegnería.

La plüüpaart dal teemp, noma ceert sübcungjuunts daj reaj i è druvaa :

Malgraa töcc chiist sübcungjuunt di reaj i síes da cardinal infinii, i è töcc cüntàbil e i representa dunca noma una ínfima paart dal cungjuunt di reaj. I gh’a ognidü di prupietaa pròpie. Düü i è particülarameent stüdiaa : i nümar razziunaj e i nümar algebràich ; sa i cjama « irazziunaj » i reaj ch’al i è mia razziunaj e « trascendeent » chij ch’ i è mia algebraich.

In sienzaModifica

La físega la dröva i nümar reaj cuma cungjuunt da misüra par dò resú essenziale :

  • I resültaa d'un càlcül da físega i dröva da spess di nümar ch’i è mia razziunaj, senza che i físich i töghes in cüünt la natüra da chiist valuur int i söö resunameent.
  • La siensa la dröva di cuncett cuma la velucitaa istantània u l'acelerazziú . Chiist cuncett i è vegnüü fö da teuríe matemàteghe par le quale ul cungjuunt di reaj al è una necessitaa teòrega. Da plüü, chiist cuncett i disponn da prupietaa forte e indispensàbile si ul cungjuunt da le misüre al è ul spazzi di nümar reaj.

Al cuntrari, ul físich al pöö mia realizá da le misüre da precisiú infinida. La representazziú nümérica dal resültaa d'un càlcül la pöö vess aprussada inscí precisameent ch’al sa vöör par un nümar decimaal. Íntal staa atüaal da la físega, al al è parfí teòricameent impussíbil da realizá da le misüre da precisiú infinida. Al è par cheest che, si d’un custaa, par di büsögn esperimentaj e teòrich, ul físich al càlcüla le misüre in  , al espressa i resültaa nümérich sota furma da nümar decimaj.

Inscí, ul físich al dröva i prupietaa di nümar reaj ch’i permett da dá un sentüü a le misüre ch’al realiza e ch’i òfar di teureem puteent par demustra le suve teuríe. Paj valuur nümérich, al sa cuntenta di nümar decimaj. Cura che al misüra la distanza che parcuur un sòlid sü un círcul cumplett, al dröva ul valuur π senza sa ponn da quisitiú sü la suva esistenza, però un nümar da decimaal da spess petit gh’al basta paj càlcüj.

Infí, malgraa i nümar reaj i pöda representá qual-sa-vöör grandezze físiche, e malgraa cheest spazzi al gh'a da spess plüü da misüre che al síes pussíbil da ga druvá, i nümar reaj i è mia adatt par travaijá a fisc nümeruus prubleem físich. Di « sura-cungjuunt » faa sü intuurn di reaj i è staa creaa par pudé manipülá di spazzi físich. Par esempi :

  • ul spazzi  , par mudelizá di spazzi, par esempi da dimensiú 2, 3 (u plüü) ;
  • ul cungjuunt di nümar cumpless da che la strütüra la gh’a di prupietaa plüü forte che chele dal cungjuunt di nümar reaj.


Cunsiderazziú tèg·nulògicheModifica

I nümar reaj i pöö vess representaa sota la furma d'un desvilüpameent decimaal infinii. In teuría, qual-sa-vöör grandezza la pöö dunca vess inscí representada. In pràtega, chiist nümar a desvilüpameent decimaal infinii i è mia adataa aj càlcüj e i è mia representàbil sü di urdinaduur. I écunumiist e i ingegnée i dröva-j sota una furma rundida, truncaant ul desvilüpameent decimaal infinii. Tipicameent i cumersaant i fa un rundameent a dò scifre dapress la vírgüla.

I infurmàtegh, malgraa i dispusa di tiip da dada cuma la vírgüla flutanta e da la vírgüla fissa i dröva igualameent noma di aprussimazziú adatade aj càlcüj infurmàtech. Par representá esatameent ceert reaj sü un urdinatuur, al cuventaress dispusá d'una memòria infinida u d'un prucessuur dedicaa aj càlcüj simbòlech.

Crítica da la nuzziú da « desvilüpameent decimaal infinii »Modifica

Tütt nümar reaal al pöö vess representaa sota la furma da « nümar a desvilüpameent decimaal infinii ». Si chesta definizziú la sembra iga la parensa da la semplissitaa, la pariss rapidameent cuma poch adata e la implica di definizziú e di demustrazziú fisc plüü cumplesse. Apó, i matemàtich i dröva mia chesta definizziú . La nuzziú da nümar reaal al è intéressanta in taant che cungjuunt. I element tòolt separadameent i gh’a rarameent da l'interess. Cheest cungjuunt al gh'a una addizziú , una mültiplicazziú e una relazziú d'úrden. Cheste prupietaa i è mal refletade par la definizziú « desvilüpameent decimaal infinii » e di prubleem teòrech i pariss :

  • Ceert nümar i gh'a dò representazziú:
Par esempi, ul nümar x=0,9999... (i 9 sa i sigüta al infinii), al verifica l'equazziú 10x = 9+x. Ul nümar i=1,000000... (i 0 sa i sigüta al infinii) en al è igualameent sulüzziú [1]. Or l'esistenza e l'unicitaa da sulüzziú a chesta equazziú i è düü prupietaa essenziale par una definizziú univoca di reaj. Par remédiá a chesta situazziú , al deventa nécessari d'identifiá i representazziú decimala ch’al i è sulüzziú d'una même equazziú : la definizziú deventa plüü cumplessa.
  • Druvá un desvilüpameent decimaal al fà gjügá un röö particülaar a la basa 10.
Chesta dificultaa a l'è mia insürmuntàbila . La al è resulüda druvaant una basa qual-sa-vöör : sa parla alura da desvilüpament p-àdich. Al è alura pussíbil da demustrá che i cungjuunt faa sü a partí da chesta basa i è isumòrfich e che i prupietaa di nümar reaj i è valàbil in tüte cheste base. Da tüta manera i demustrazziú i deventa inütilameent pesante, e la definizziú i pèert la suva semplissitaa.
  • Infí e suratütt al è impussíbil da scriif un alguriitm par efetüá i dò uperazziú che i è l'addizziú e la mültiplicazziú, sa fundaant ünicameent sü la definizziú da reaal cuma « nümar a desvilüpament decimaal infinii ».
In efett, i « retenüü » sa i calcüla da la drita vèers la mansina. Adess, ul desvilüpameent decimaal infinii al impediss da truvá un « scumensameent » al alguriitm. Chesta dificültaa la pöö vess sürmuntada, a la cundizziú da desvilüpá di utiil analítich cuma la cunvergenza da sequenze u da série, ch’i pariss plüü sémplis e plüü naturaj.

I frazziúModifica

Dapress i teemp andeegh la representazziú d'una grandezza mesüràbila, par esempi una lunghezza u una dürada la a respundüü a un büsögn. La prima resposta a l'è stada la custruzziú di frazziú (quozzieent da düü intreegh pusitiif). Chesta sulüzziú , metüda in plazza da i Sümerià e i Égizzià a l'è finalameent perfurmanta. La permett d'aprussimá una lunghezza qual-sa-vöör cun tüta la precisiú desidrada.

Curespundenza cun da le lunghezzeModifica

 
Eucliit

La prima furmalisazziú fada sü in sistema che sa al cugnuss a l'è ul früt dal laurá d'Eucliit da Megara.

La suva custruzziú redigjüda in 13 líbar cjamaa Elemeent d'Eucliit, la porta dò grande idee majuur in la stòria da la matemàtega.

La matemàtega a l'è furmalizada cun di assiòom, di teureem e di demustrazziú. Sa pöö alura custrüí un sistema, cun di teureem da che i demustrazziú sa i pögja sü d'òolt teureem. La matemàtega a l'è classada in categuríe, la geumetría e l'aritmética en i è i dò plüü grande. Parlá da custruzziú al töö alura tütt ul sò sentüü.
Un puunt al è bütaa intra i dò grande categuríe. Chesta manera, ch'a la permet da druvá di resültaa d'una da le branche da la matemàtega par s·cjarí una otra branca, a l'è da le plüü fecunde. I nümar i è alura metüü in curespundenza cun da le lunghezze da segmeent.

Prubleem d'incumpletezzaModifica

Irazziunalitaa da la ariis quadrada da 2Modifica

L'aprocc d'Eucliit al mett in evidenza la prima cuntradizziú intra la nuzziú da nümar da l'épuca - i frazziú - e ul röö atribüii-gh, la representazziú d'una grandezza mesüràbila .

  • Una lunghezza da che ul quadraa al è iguaal a 2 la esiist. Un resunameent geumétrich, gjanmò vecc a l'épuca d'Eucliit, al mustra che al è pussíbil da custrüí un quadraa B da süperfiis dobia da chela d'un quadraa inizzial A da custaa iguaal a 1. Si sa la nota   la lunghezza dal custaa dal quadraa B, ch’al al è iguala a la lunghezza da la diagonala dal quadraa A, l'igualtaa   al è alura verifiada.
  • Una lunghezza da che ul quadraa al è iguaal a 2 la esiist mia sota furma da frazziú


Custrüzziú di nümar reajModifica

Al esiist da le diferente custrüzziú di nümar reaj, da che le dò métude le plüü riguuruse i è

Custrüzziú intütiva a partí di nümar decimajModifica

Un nümar reaal al è una quantitaa ch’a la gh'a par representazziú decimala  , indúe   al è un intreegh, cada   al è una scifra intra 0 e 9, e la sequenza sa la tèrmina ní par una infinitaa da 9 ní par una infinitaa da 0. La definizziú da   a l'è alura ul nümar ch’al al satisfà chesta dòbia inequazziú par tütt k:

 

Custrüzziú paj cupameent da DedekindModifica

IntrudüzziunModifica

Al è la custrüzziú imaginada pal Richard Dedekind ch’al remarca che cada razziunaal r al cupa   in düü cungjuunt : ul cungjuunt   di razziunaj   taj che   e ul cungjuunt   di razziunaj   taj che  . Al cjama alura   un cupameent da  . Al remarca dapress che   al pöö apó partí   in düü cungjuunt : ul cungjuunt   di razziunaj   taj che   e ul cungjuunt   di razziunaj   taj che  . L'idea ga la vegn dunca da definí ul cungjuunt di reaj cuma ul cungjuunt di cupameent da  . Al resta adess a definí un cupameent senza druvá la nuzziú intütiva da nümar reaal. Dedekind al prupusa la definizziú sigütaant :

Un cupameent da Dedekind íntal còorp   di razziunaj al è un dòbi da 2 sübcungjuunt mia-vöj A e B taj che
  •  
  •  
  •  

Sa veet inscí che cada nümar razziunaal r al definiss düü cupameent :

  • (A,B) taal che A al è ul cungjuunt di razziunaj stregjameent inferiuur a r e B ul cungjuunt di razziunaj superiuur u iguaj a r
  • (A',B') taal che A al è ul cungjuunt di razziunaj inferiuur u iguaj a r e B ul cungjuunt di razziunaj stregjameent superiuur a r.

Par trá via chesta ambigüitaa, sa la dröva alura la definizziú sigütaant d'un cupameent :

Un cupameent da   al è una paart A da   tala che
  • A al è mia vöj e difereent da  
  • par tütt   da A, si   alura   al partegn a A
  • A al gh'a mia da plüü graant elemeent.

Sa pöö remarcá che chesta segunda definizziú la permet d'assürá una curespundenza ünívuca intra cada razziunaal r e ul cupameent   definii cuma ul cungjuunt da töcc i razziunaj taj che  . Sa al definiss alura   cuma ul cungjuunt da chiist cupameent. Sa remarca che   sa al diviit in düü cungjuunt, ü cuj cupameent da che ul cumplementari al amet un plüü piscin elemeent, i cupameent da la furma  , e l'òolt cuj cupameent da che ul cumplementari al gh'a mia da plüü piscin elemeent.

Par esempi l'irazziunaal   al è representaa pal cupameent  .

Sa al imersiuna natüralameent   in   par l'aplicazziú ingetiva che, a tütt razziunaal r, la socja ul cupameent  

PrupietaaModifica

'Relazziú d'úrden  : Ul cungjuunt di cupameent, münii da la relazziú d'inclüsiú al è alura un cungjuunt tutalameent urdenaa verifegaant da plüü la prupietaa dal límit da sura (cada cungjuunt mia vöj magjuraa al gh'a un límit da sura).

Adizziú  : Sa la pöö alura fá sü una adizziú sü   da la manera sigütaant :

  al esiist a in A e b in B taj che c = a + b.

Chesta adizziú la cunferiss a   una strütüra da grup cumütatiif. L'ünega dificültaa la cunsistiss in la definizziú da l'upòost da A :   (si  ) u   (si  )

Mültiplicazziú  : La custrüzziú da la mültiplicazziú a l’è plüü fina. L'è definida sü töcc i reaj pusitiif da la manera sigütaant:

  al esiist a in   e b in   taj che  .

La régula di sign la permett alura da fá sü la mültiplicazziú sü tütt  

Ul cungjuunt   münii da cheste dò legg al è alura un còorp cumütatiif archimedià cumplet.

Custrüzziú via le sequenze da CauchyModifica

Chesta custrüzziú a l’è plüü difícil a aburdá però la öfar düü vantacc : la custrüzziú di uperazziú a l’è plüü natürala e la gh'a ul mérit da sa generalizá a töcc i spazzi métrich.

Definizziú in taant che cungjuuntModifica

L'idea da Cauchy la reseet íntal fatt che sa pöö rivá a cada nümar reaal par una sequenza da Cauchy, i.e. una sequenza   verifegaaant ul criteri da la cunveercnza sigütaant:

 

L'elemeent límit a che la va burlá gjo al sarà alura definii cuma un nümar reaal. Ul cungjuunt da le sequenze da Cauchy, che a nutemm   al pariss da tüta manera bé trop vaast. In efett, par esempi, par un razziunaal daa, al esiist una infinitaa da sequenze da Cauchy la cunveercent veers cheest límit. Al è nécessari da quozzientá cheest spazzi par una relazziú d'equivalenza intra le sequenze. Si a nutemm   chesta relazziú d'equivalenza intra dò sequenze   e  ,   a l'è definida da la manera sigütaant:

 

Sa al pöö remarcá che la relazziú   al è bé reflessiva par che la sequenza nüla la cunveerg bé veers 0, simétrica par che si una sequenza la cunveerg veers 0, alura la sequenza uposta la cunveerg apó veers 0, e la transitivitaa a l'è una cunseguenza da la desigualtaa triangülara sü la valuur assulüda in  . Si  ,   e   i è tré sequenze razziunale, a emm in efett:

 

Cada relazziú d'equivalenza sü un cungjuunt la definiss una partizziú da cheest cungjuunt. Un elemeent da chesta partizziú al è cjamaa nümar reaal, e ul cungjuunt di nümar reaj al è nutaa  .

Remarca : cura che sa la fa teent vargot veers un límit, chí, al è par di   razziunaj che sa la va inquadrá, par che sa disponn gnamò di reaj!

Definizziú in taant che còorpModifica

Ul cungjuunt da le sequenze in   al è natüralameent münii d'una strütüra d'anell cun l'adizziú e la mültiplicazziú ereditade da la strütüra da còorp da le sequenze. Si   e   i è dò sequenze, alura cheste uperazziú i è definide par:

 
 

Cheste uperazziú i cunserva ul criteri da Cauchy, inscí la suma e ul prudüit da dò sequenze da Cauchy i è amò da le sequenze da Cauchy. Al è inscí pussíbil da müní   d'una strütüra d'anell.


Cheste uperazziú i cunserva la partizziú definida par la relazziú  . Inscí quaal-sa-síes i representant scernii da düü classe da   la suma (resp. la mültiplicazziú ) di representaant la partegn a la istessa classa da  . Al è inscí pussíbil da müní   d'una strütüra d'anell. Sa verífega che la classa da   al è l'elemeent néutar e la classa da   l'ünitaa. Sa verífega che   al è da plüü un còorp cumütatif.

Sa al imersiuna   in   via le sequenze custante. Sa nutarà   la classa cuntegniint la sequenza cunstanta iguala a  .


Relazziú d'úrdenModifica

Sa al definiss   da la manera sigütaant :  

  •  
u
  • al esiist una sequenza da Cauchy razziunala   e un razziunaal pusitiif   taal che   al síes un representaant da   e   a partí d'un vargü raanch

e

  da la manera sigütaant :  

  •  
u
  • al esiist una sequenza da Cauchy razziunala   e un razziunaal negatiif   taal che   al síes un representaant da   e   a partí d'un vargü raanch.

Sa la definiss alura una relazziú d'úrden sü   pusaant

 

Sa demustra che   münii da chesta relazziú d'úrden al è un còorp tutalameent urdenaa archimédià e che chesta relazziú d'úrden la cuinciit cun la relazziú d'úrden sü  

Distanza e límitModifica

La valuur assulüda a l'è alura definida par

 

Sa remarca che si   al è un representaant da   alura   al è un representaant da  .

Sa pöö alura müní   d'una distanza

d(x , y)= |x - y|

e ga definí la la cunveercnza da sequenze.

Sa demustra a cheest prupòsit che, si   al gh'a par representant la sequenza da Cauchy razziunala  , alura chesta sequenza a l’è apó una sequenza da reaj (  al è imersiunaa in   par la curespundenza sigütaant :   al gh'a par representant la sequenza cunstanta  ) e chesta sequenza da reaj la gh'a par límit  . Cheest chí al permett, da plüü, da pruvá che   al è deens in   par che tütt reaal al è límit d'una sequenza da razziunaj.

Sa demustra apó che, sü cheest cungjuunt, ul límit d'una suma a l’è iguaal a la suma di límit, ul límit d'un prudüit al prudüit di límit e che ul límit d'una sequenza pusitiif a l’è pusitiif u nül.

Cumpletezza e límit da suraModifica

Sa al saa gjanmò che, par custrüzziú , tüte le sequenze da Cauchy razziunale i cunveerc in  . Però sa demustra che al è apó ul caas par cada sequenza da Cauchy reala.

Chesta métuda da custrüzziú sa la generaliza a tütt spazzi métrich E par utegní un spazzi métrich cumplet E' taal che E al síes deens in E' .

Sa demustra da plüü che   al verifica la prupietaa dal límit da sura : tütt sübcungjuunt mia vöj magjuraa al gh'a un límit da sura.

  1. Vidé apó Demustrazziú da l'igualtaa intra 0,9999... e 1.