Apri il menu principale
Portal Artícuj relazziunaa a Matemàtega

Ul teurema fundamentaal dal càlcül integraal al cunsistiss, fisc infurmalament, in l'afirmazziú che la derivada e l’integrala d'una funziú matemàtica i è da le uperazziú inverse. Vargott al significa che cada funziú cuntínua integràbila la verifica che la derivada da la suva integrala indefinida al è sí istessa. Cheest teurema-chí al è centraal in la branca da la matemàtica cjamada càlcül.

Una cunseguenza direta da cheest teurema, denuminada ucasiunalameent seguunt teurema fundamentaal dal càlcül, la permett da calcülá l'integrala d'una funziú duvraant l'antiderivada da la funziú da integrá.

Apó si i andeegh matemàtich greech cuma Archimedes gja i dispusava da métude aprussimade pal càlcül da vulüm, àree e lunghezze da cürve, al è staa grazzia a una idea uriginaalameent desvilüpada pal matemàtich anglées Isaac Barrow e le apurtazziú da Isaac Newton e Gottfried Leibniz che cheest teurema al a pudüü vess enunziaa e demustraa.

I teureem fundamentaj dal càlcül integraalModifica

Primm teurema fundamentaalModifica

DeclarazziúModifica

Dada una funziú   integràbila sura l'interval  , definissemm   sura   par   cun   fissaa. Ul teurema al diis che si   al è cuntínua a  , alura   al è derivàbila a c e F'(c) = f(c).

DemustrazziúModifica

Lema impurtaant:

Süpusemm che   al è integràbila sura   e che:

 

Alura

 

Scumenza la demustrazziú

Ipòtesi:

Al síes  .
Al síes   una funziú integràbila sura l'interval   e cuntínua a c.
Al síes   una funziú sura   definida inscí:   cun  


Tesi:

F'(c)=f(c)

Par definizziú a gh’emm:  .

Süpusemm che h>0, alura  .

Definissemm   y   cuma:

 ,
 

Aplicaant ul 'lema', a videmm che:

 .

Par taant,

 

Adess süpusemm che  , i síes:

 ,
 .

Aplicaant ul 'lema' videmm che:

 .

Cuma:

 ,

Alura:

 .

Pusaa che  , alura a gh’emm che:

 .


E cuma   al è cuntínua a c a gh’emm che:

Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. ETIMEDOUT"): {\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}m_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}M_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}{m^{*}}_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}{M^{*}}_{h}=f(c)} ,

e vargott al porta a:

 .

EsempiModifica

 
 
 

Seguunt teurema fundamentaalModifica

DeclarazziúModifica

Apó sa l nòmina Régula da Barrow, in honuur a Isaac Barrow.

Dada una funziú   cuntínua a l'interval   e al síes   qual-sa-vöör funziú primitiva da  , al è a dí g'(x)=f(x), alura:

 

Cheest teurema sa l dövra frequentameent par valüá da le integrale definides.

DemustrazziúModifica

Ipòtesi:

Al síes   una funziú cuntínua a l'interval  
Al síes g una funziú diferenziàbila in l'interval   taal che  

Tesi:

 

Demustrazziú:

Al síes

 .

A gh’emm pal primm teurema fundamentaal dal càlcül che:

 .

Par taant:

  taal che  .

Usservemm che:

 

E da chí al seguiss che  ; par taant:

 .

E in particülaar si   a gh’emm che:

 

EsempiModifica

 
 

Vidée apóModifica