Lema da Bohr

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

Reguredemm che par cada funziun intrega $g$ s'al definiss

$M_{r}(g):=\max _{\vert z\vert =r}\{\vert g(z)\vert \}$.

LEMA: Al síes ${\mathcal {K}}$ ul cungjuunt di funziun ulumòorf $h:\mathbb {D} (0,1)\to \mathbb {C}$ taal che $h(0)=0$ e $M_{1/2}(h)\geq 1$; par cada $h$, al síes $c(h):=\sup\{r>0:\partial \mathbb {D} (0,r)\}\subset h(\mathbb {D} (0,1))$: alura $\inf\{c(h):h\in {\mathcal {K}}\}>0$

Demustrazziun: süpusemm par l'assüürt ch'al esiist una sequenza $\{h_{n}\}\subset {\mathcal {K}}$ tala che $\lim _{n\to \infty }c(h_{n})=0$; alura, par cada $n$ assée graant, i círcul $\mathbb {D} (0,1)$, $\mathbb {D} (0,1/2)$ e $\mathbb {D} (0,1/4)$ i è mia cuntegnüü in $h_{n}(\mathbb {D} (0,1))$; inscí la fameja $\{h_{n}\}$ a l'è tala che, par cada $n$ assée graant, $h_{n}(\mathbb {D} (0,1))$ al lassa fö un cungjuunt ${a_{n},b_{n},c_{n}}$ da trii puunt: a gh'emm apó $\min\{\vert a_{n}-b_{n}\vert ,\vert b_{n}-c_{n}\vert ,\vert c_{n}-a_{n}\vert \}\geq 1/4$ par cada $n$; grazzia al teurema da Montel $\{h_{n}\}$ a l'è una fameja nurmala. A maanch d'estrazziun, sa pöö süponn che $\{h_{n}\}$ la cunveerg a una funziun ulumorfa $h:\mathbb {D} \to \mathbb {C}$: grazzia al lema da Hurwitz $h\in {\mathcal {K}}$, $h$ a l'è mia custanta e al esiist $r>0$ tal che $\partial \mathbb {D} (0,r)\subset h(\mathbb {D} (0,1/2))$. Aplicaant anmò ul lema da Hurwitz a s'uteegn, par cada $n$ assée graant, $c(h_{n})\geq r$, vargott ch'al è una cuntradizziun.