Lema dal spazzi métrich

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

Al síes $(X,d)$ un spazzi métrich cumplett e $M:X\rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$ una funziun lucalameent limitada. Al síes $\sigma >0$: alura, par tücc $u\in M^{-1}(\mathbb {R} ^{+})$ al esiist $w\in X$ taal che:

1. $d(u,w)\leq 2({\sigma M(u)}^{-1}){\sigma M(u)}^{-1}$;
2. $M(w)\geq M(u)$;
3. $d(x,w)\leq ({\sigma M(w)})^{-1}\Rightarrow M(x)\leq 2M(w)$.

Demustrazziun Süpusemm par l'assüuurt che ul lema al síes faals: alura al esiist $u\in X$ taal che, par tücc $w\in X$, vün almaanch di enuncjaa 1,2,3 al síes faals. In particülaar, $v_{0}:=u$ al gh'a da viulá la cundizziun 3. Dunca sa pöö truvá $v_{1}\in X$ taal che $M(v_{1})>2M(v_{0})$ però $d(v_{1},v_{0})\leq {1}/{v_{0}}$, vargott ch'al implica che 1 e 2 i è veer par $w=v_{1}$ e, par cunsequeent, 3 la gh'a da vess falsa par $w=v_{1}$. Dunca sa pöö truvá $v_{2}\in X$ taal che $M(v_{2})>2M(v_{1})$ però $d(v_{2},v_{1})>[\sigma M(v_{1})]^{-1}$, dunca $d(v_{2},v_{0})>{\frac {1}{2}}[\sigma M(v_{0})]^{-1}$.

Cheest-chí al implica che 1 e 2 i è veer par par $w=v_{2}$ e, par cunsequeent, 3 la gh'a da vess falsa par $w=v_{2}$ apó. Sigütaant cheest prucedimeent, sa pöö fa sü, par indüzziun, una suquenza $\{v_{n}\}$ tala che $v_{0}=u$, $M(v_{n})\geq 2M(v_{n-1})\geq 2^{n}M(v_{0})$ e $d(v_{n},v_{n-1})\leq {2^{1-k}\left[\sigma M(v_{0}))\right]^{-1}}$. % Chesta sequénza-chí a l'è da Cauchy: en síes $\lambda$ la valuur límit. Al sa veet che $M$ a l'è mia limitada aprööf $\lambda$, vargott ch'al è una cuntradizziun.

Refereenz

M.Gromov, Foliated plateau problem: part II: harmonic maps of foliations. GAFA, Vol. 1, No. 3 (1991), 253-320