Símbul da Levi-Civita

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

Intal càlcül tensuriaal, s'al definiss ul símbul da Levi-Civita, apó numenaa símbul da permütazziun, in la furma segueent:

$\epsilon _{ijk}=\left\{{\begin{matrix}+1&{\textrm {si}}\ (i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\-1&{\textrm {si}}\ (i,j,k)=(3,2,1),(1,3,2),(2,1,3)\\0&{\textrm {si}}\ i=j\ {\textrm {u}}\ j=k\ {\textrm {u}}\ k=i\end{matrix}}\right.$

Al cata ul sò nomm dal Tullio Levi-Civita e s'al dövra in matemàtica e física: par esempi, in àlgebra lineara, ul prudüit veturiaal da düü vetuur s'al pöö scriif cuma:

$\mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\mathbf {e_{i}} a_{j}b_{k}$

u, plüü simplameent:

$\mathbf {a\times b} =\mathbf {c} ,\ c_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}=\epsilon _{ijk}a^{j}b^{k}$

intúe, in la darera identitaa, a emm druvaa la nutazziun da Einstein, cunsisteent a umett ul seegn da sumatòria paj índes repetüü. Ul tensuur i cumpuneent dal quaal i è daa dal símbul da Levi-Civita s'al nòmena a vöölt tensur da permütazziun (Al cuventa nutá, però, ch'al seguiss i regul da trasfurmazziun tensuriala da curdenaat noma par cambiameent da curdenaat cunt urientazziun pusitiva: oltrameent al pariss un seegn 'maanch').

Ul símbul da Levi-Civita s'al pöö generalizá a dimensiun plüü òolt:

$\epsilon _{ijkl\dots }=\left\{{\begin{matrix}+1&{\textrm {si}}\ (i,j,k,l,\dots )\ {\textrm {perm.}}\ {\textrm {parella}}\ {\textrm {de}}\ (1,2,3,4,\dots )\\-1&{\textrm {si}}\ (i,j,k,l,\dots )\ {\textrm {perm.}}\ {\textrm {senar}}\ {\textrm {de}}\ (1,2,3,4,\dots )\\0&{\textrm {si}}\ {\textrm {dos}}\ {\textrm {indexs}}\ {\textrm {igual}}\ \end{matrix}}\right.$

Purtaal:Matemàtica Artícuj relazziunaa a Matemàtica