Argument de la diagunala de Cantor

Artícuj relazziunaa a matemàtica

Quel articul chì l'è scrivüü in Lumbard, cun l'urtugrafia insübrica ünificada.

L'argument de la diagunala de Cantor a l'è una demustraziun del matematich tudesch Georg Cantor de la minga cüntabilità del insema di nümer reaj.

Questa demustraziun a l'è la segunda scrivüda dal Cantor sura la minga cüntabilità de $\mathbb {R}$ . La prima demustraziun la dröva minga el desvilüpament decimal d'un nümer real.

Dapress che questa tecnica a l'è stada inventada, l'è stada druvada in di nümerus demustraziun e 'l druvament de l'argument diagunal a l'è inscì diventaa un classich de la demustraziun in matematica.

Inscambi de demustrà che $\mathbb {R}$ a l'è minga cüntabil se 'l cunsidera per cumudità el sübinsema [0,1] de $\mathbb {R}$ se 'l custrüiss, per tüta part cüntabil D da [0,1], un element da [0,1] partegnent minga a D; el s'avrà inscì pruvaa che [0,1] el pò minga vess cüntabil . Cunsiderem dunca una part cüntabil de [0,1] nümerada cul jüt d'una sequenza $r=(r_{i})=\{r_{1},r_{2},...,r_{i},...\}$ . Cada termin de questa sequenza el gh'ha una scritüra decimala cunt un'infinità de cifer dapress la virgula (un'infinità de 0 per un nümer decimal), i.e. : $r_{1}=0,r_{i1}r_{i2}r_{i3}\cdots r_{in}\cdots \,$

Custrüisem adess un nümer real x in [0,1] cunsiderand la cifra de sit n dapress la virgüla del nümer $r_{n}$ , i.e cunsiderand i cifer sü la diagunala de la tavula $\{r_{in}\}_{i,n}$ . El sia $s_{n}$ un nümer da 0 a 9 diferent da $r_{n}$ e $x:=0,s_{1}s_{2}s_{3}\cdots s_{n}\cdots$ .

El nümer x a l'è ciarament in l'interval [0, 1] però el pò minga vess in la sequenza { r₁, r₂, r₃, ... }, perchè a l'è igual a nissün di nümer de la sequenza : el pò minga vess igual a r₁ perchè la prima cifra dapress el punt decimal de x a l'è diferent da la prima cifra dapress el punt decimal de r₁; in l'istessa manera per r₂, etc. dunca x a l'è minga element de la sequenza r_i.

Cunclüsiun: l'interval [0, 1] a l'è mia infinii cüntabil e a fortiori $\mathbb {R}$ .

El Cantor a l'ha druvaa una furma generalizada de l'argüment de la diagunala per demustrà el teurema de Cantor : per tütt cungjuunt S, el insema dai part de S, nutaa generalament P(S), a l'è « stregiament püssee grand » che S se istess, in d'alter termin el pò minga esist sürgeziun de S vers P(S). In efet, se l'esist una tala sürgeziun f de S sü P(S), se 'l pò cunsiderà el insema A di element x de S cume x partegnent a f(x). Cume che A el partegn a P(S), a l'esist, del fat de la sürgetività da f, un element a de S tal che f(a)=A. Se riva a una cuntradiziun anca in del cas induve a el partegn a A che in del cas cuntrari.

Argument de la diagunala de Cantor

Videe anca