Assioma d'estensiunalitaa

Purtaal:matemàtica Artícuj relazziunaa a matemàtica

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

L'assioma d'estensiunalitaa, u assioma d'estensiú, intervient in lògica, in matemàtica, e in infurmàtega. Al è ü di assiòom-cjaaf da tüta la teuría assiumàtega di cungjuunt e, in particülaar, ul primm assioma da la teuría ZF ( teuría di cungjuunt da Zermelo-Fraenkel ).

L'assioma d'estensiunalitaa al è intimameent liaa a la nuzziú d'igualtaa da düü cungjuunt. Al esiist in efett almaanch ciinch manere diferente da definí chesta nuzziú , e cheest assioma al permett da i ünifiá. Al serviss apó a impusá l'ünicitaa da cungjuunt definii par ul datum dij söö elemeent, cuma ul cungjuunt vöj, i singletú, i para, u i Cungjuunt da le parte.

Presentazziú dal assioma

Par la varietaa da le definizziú da l'igualtaa, al esiist plüü da furmulazziú pussíbil da cheest assioma, però i pöö tüte sa repurtá a l'enunziaa in acordi a:

si düü cungjuunt i gh'a i istess elemeent, alura i è i istess.

Si al è pussíbil da restá flou par vargot ch'al cuncerna la nuzziú d'igualtaa druvada in la furmulazziú chí-da-sura, al cuventa la precisá cura che sa vöör esprimm l'assioma int un lenguagg furmaal. Al è par vargott ch'al cuventa esaminá da plüü areent le diferente nuzziú d'igualtaa.

I diverse nuzziú d'igualtaa

Le diferente teuríe di cungjuunt i definiss mia sémpar da la istessa manera la nuzziú d'igualtaa da düü cungjuunt. A recapitulemm chí le definizziú rincuntrade :

Igualtaa paj elemeent

Al è l'igualtaa cuma l'è definida in la teuría naïve di cungjuunt par Cantor; la sarà nutada chí « =_ig ». Sa la definiss furmalameent par :

$\forall E,\forall F,(E=_{ig}F)\Leftrightarrow [\forall x,(x\in E)\Leftrightarrow (x\in F)]\,$

Düü cungjuunt i è iguaj paj elemeent si e noma si i gh'a i istess elemeent.

Igualtaa par inclüsiú recípruca

Al è una varianta da la definizziú precedenta; la sarà nutada chí « $=_{inc}\$ ». La fa apell a la nuzziú da inclüsiú, da che la definizziú a l'è :

$\forall E,\forall F,(E\subseteq F)\Leftrightarrow [\forall x,(x\in E)\Rightarrow (x\in F)]\,$

Un cungjuunt $E$ al è cuntegnüü int un cungjuunt $F$ si e noma si cada elemeent da $E$ al partegn a $F$.

L'igualtaa par inclusiú recípruca sa la definiss alura furmalameent par :

$\forall E,\forall F,(E=_{inc}F)\Leftrightarrow [(E\subseteq F)\wedge (F\subseteq E)]\,$

Düü cungjuunt i è iguaj par inclüsiú recípruca si e noma si i è cuntegnüü l'ün in l'òolt.

Cheste dò prime definizziú da l'igualtaa i è evidentameent equivalente; al è assée da remplazzá l'inclüsiú par la suva definizziú e da sa regurdá che :

$\forall P,\forall Q,[P\Leftrightarrow Q]\Leftrightarrow [(P\Rightarrow Q)\land (Q\Rightarrow P)]$

Igualtaa par prupietaa

Al è l'igualtaa definida par Leibnitz sota ul nomm d'identitaa lògica, e nutada una völta « = » par che cunsiderada cuma plüü « forta » che l'igualtaa al sentüü da Cantor par una resú che a vedaremm un pocch plüü luntà; la sarà nutada chí « =_P ». Sa la definiss furmalameent par :

$\forall E,\forall F,(E=_{P}F)\Leftrightarrow [\forall P,P(E)\Leftrightarrow P(F)]\,$

Düü cungjuunt i è iguaj par prupietaa si e noma si i verifica le istesse prupietaa.

Da fatt, sa na retröva in cheest caas cul istess uget sota düü nomm difereent ( ul nomm d'un uget al è mia una prupietaa propia a cheest uget; al è una etichèta ch'a la gh'è apusada ).

Chesta definizziú, ch'a la pareva natürala a tüta prima, la cascja da fatt una dificültaa : i prupietaa ga i è quantifiade ( « ∀ P » ). Adess, i prupietaa i è di predicaa, e noma la quantificazziú da le variàbile , mia la di predicaa al è auturizada in la lògica abitüala ( lògica di predicaa dal primm úrden' ).

Tré sulüzziú i è pussíbile :

• recürí a una lògica auturizaant la quantificazziú di predicaa, par esempi la lògica di predicaa dal seguunt úrden '; cheest al è mia la sulüzziú abitüalameent druvada, par che le lògiche d'úrden süperiuur al primm i è fisc plüü cumpless e i scuunt de le trape otrameent redüzzíbile che le da la lògica clàssica...
• truvá una definizziú equivalenta, però ch'a la faghes mia apell a la quantificazziú di predicaa; al è la sulüzziú druvada par esempi in la teuría NGB ( [[Classa (matemàtica)|teuría da le classe] ] da von Neumann, Gödel e Bernais );
• renunziá a definí l'igualtaa, e l'intrudüí cuma tèrmin primitiif da la lògica süb-gjacenta ( lògica cjamada cunt igualtaa ); al è ul caas par esempi da la teuría ZF.

Igualtaa par classa

Al è l'igualtaa definida in la teuría NGB ; la sarà nutada chí « =_C ». Sa la definiss furmalameent par :

$\forall E,\forall F,(E=_{C}F)\Leftrightarrow [\forall C,(E\in C)\Leftrightarrow (F\in C)]\,$

Düü cungjuunt i è iguaj par [[Classa (matemàtica)|classa] ] si e noma si i partegn a le istesse classe.

La nuzziú da classa la generaalise chela da cungjuunt. Una classa al è un cungjuunt si e noma si la è elemeent d'una otra classa; si-da-nò , al è un ünivèers.

Chesta definizziú a l'è equivalenta a la par prupietaa :

- cuma a tüta prupietaa la pöö vess sucjada una classa, la di cungjuunt ch'i verifica chesta prupietaa, l'igualtaa par classa la implica la par prupietaa;

- inversameent, cuma cada classa la gh'a una prupietaa caraterístega, l'igualtaa par prupietaa la implica la par classa.

Però la cumporta mia da quantificazziú da predicaa . In scambi, i è le variàbile da classa ch'i è quantifiade, vargot ch'al è lézzit íntal quàdar d'una lògica dal primm úrden.

Igualtaa par definizziú mia direta

La sarà nutada chí « =_D ». In la teuría ZF, l'igualtaa a l'è mia definida, però cunsiderada cuma tèrmin primitiif da la lògica süb-gjacenta ( lògica cjamada « cunt igualtaa » ), ch'al cumporta alura i assiòom necessari par definí un cumpurtameent da cheest tèrmin equivaleent a al da l'igualtaa par prupietaa.

Assioma d'estensiunalitaa e igualtaa

Sa cunstata che le definizziú precedente sa i repartiss in düü grup da definizziú equivalente:

- le dò prime definizziú d'una paart ( grup I ),

- e le tré darere d'otra paart ( grup II ).

In resümii, a gh'emm :

$(E=_{ig}F)\Leftrightarrow (E=_{inc}F)\,$

$(E=_{P}F)\Leftrightarrow (E=_{C}F)\Leftrightarrow (E=_{D}F)\,$

Da plüü, sa pöö mustrá che l'igualtaa paj elemeent al è un caas particülaar da l'igualtaa par prupietaa, cunsiderant la prupietaa P(E) definida cuma x ∈ E. L'igualtaa par prupietaa la implica dunca l'igualtaa paj elemeent. Al è in cheest sentüü che, cuma indicaa plüü in òolt, l'igualtaa par prupietaa a l'è plüü forta che l'igualtaa paj elemeent. A en dedüissemm ul schéma chí-da-sota d'implicazziú dal grup II veers ul grup I :

$\left.{\begin{matrix}E=_{P}F\\\Updownarrow \\E=_{C}F\\\Updownarrow \\E=_{D}F\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}E=_{e}F\\\Updownarrow \\E=_{i}F\end{matrix}}\right.\,$

Par utegní l'equivalenza da tüte cheste definizziú, al resta dunca noma a demustrá le implicazziú inverse, dal grup I veers ul grup II. Però chesta darera implicazziú al è òolt che l'assioma d'estensiunalitaa !

En passant, sa l pöö infí esprimm cheest assioma da manera furmala; a representaremm i söö difereent enunziaa pussíbil da manera cumpata sota la furma sigütanta :

$\forall E,\forall F,\left\{{\begin{matrix}\forall x,(x\in E)\Leftrightarrow (x\in F)\\(E\subseteq F)\wedge (F\subseteq E)\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}\forall P,P(E)\Leftrightarrow P(F)\\\forall C,(E\in C)\Leftrightarrow (F\in C)\\E=F\end{matrix}}\right.\,$

Al è pussíbil da rincuntrá da le furmulazziú dal assioma indúe l'implicazziú a l'è remplazzada par una equivalenza, però, traa di caas particülaar, chesta equivalenza a l'è süpèrflüa.

Cada teuría scerniss l'üna da le definizziú precedente cuma definizziú da l'igualtaa, representada pal símbul « = », e le otre definizziú, almaanch le cumpatíbil cun chesta teuría, n i diventa di [[teurema|teureem] ].

Òolt röö da cheest assioma

L'assioma d'estensiunalitaa al serviss mia noma a ünifiá le diferente definizziú da l'igualtaa di cungjuunt. Al serviss apó a assürá l'ünicitaa da cungjuunt fundamentaj, taj ul cungjuunt vöj u l para da düü cungjuunt, da che l'esistenza a l'è afirmada par di òolt assiòom.

A cheest efet, cunsideremm un predicaa ünari qual-sa-vöör P. Sa l pöö sémpar definí ul cungjuunt A cuma ul cungjuunt di ugett C ch'i verifica P, i.e. paj-quaj P( C ) al è vera.

Però definí un uget al süfiss mia a garantí la suva esistenza, ni maanch che al pöda esiist. Al cuventa par cheest :

• che la definizziú la síes cunsistenta, i.e. la porta mia a una cuntradizziú ;
• e che l'esistenza dal uget la síes afirmada paj assiòom da la teuría, u en al sigütes.

Ul cungjuunt A al esiist dunca mia si la suva definizziú la porta a una cuntradizziú , par esempi cul predicaa R definii par : « R( C ) » al equivaar a « C al partegn mia a C » (sa l retröva in cheest caas ul Paradoss da Russell).

Cun chesta riserva, i.e. si na limitemm aj predicaa cun dent una definizziú cunsistenta dal cungjuunt A, e si a definissemm un seguunt cungjuunt B da la istessa manera, a partí dal istess predicaa , alura l'assioma d'estensiunalitaa al imponn che i düü cungjuunt i è i istess.

In efett, al síes x un élameent da B. Dapress la definizziú da B, x al verifica P. Però si x al verifica P, alura, dapress la definizziú da A, x al partegn a A. Dunca cada elemeent da B al partegn apó a A, e inscí B al è cuntegnüü in A. Scambiaant A e B in la démustrazziú precedenta, sa la utegn amò una démustrazziú vàlida, d'indúe A al è cuntegnüü in B. Sa la gh'a la dobia inclüsiú recípruca, dunca B al gh'a esatameent i istess elemeent che A e sa l cunfuunt cunt al.

Nota : la demustrazziú chí-da-sura la pöö vess rendüda plüü evidenta si sa fa apell al curulari in acordi al assioma d'estensiunalitaa:

Un cungjuunt al è cumpletameent determinaa paj söö elemeent, e ünicameent paj söö elemeent.

Inscí, cada cungjuuntA definii a partí d'un predicaa ünari P par la fórmüla :

$\forall \ C,[C\in A]\Leftrightarrow [P(C)]\,$

al è ünich (a cundizziú da tüta manera ch'al esiist).

Sa l pöö alura intrudüí un símbul particülaar par désigná cheest cungjuunt, par esempi { a } pal singletú custrüii a partí da l'uget a, u { a , b } pal para furmaa par a e b,...

Variante da l'assioma d'estensiunalitaa

L'assioma d'estensiunalitaa a l'è generalameent cunsideraa cuma indescütíbil , e al, u ü dij söö equivaleent, parisseva in tüta l'assiumàtega alternativa da la teuría di cungjuunt. Da tüta manera, al pöö sübí da le modificazziú par satisfá vargüne esigenze, cuma in l'esempi segueent.

Int una teuría di cungjuunt cun di ur-elemeent

La nuzziú dur-elemeent, u àtum u amò elemeent primitif, la risülta da la furmalizazziú da la nuzziú delemeent da la teuría cantoriana. Cantor al sa ucüpava pocch da la natüra precisa daj söö elemeent; tütt vargot ch'al gh'a impurtava, al era che sa pudess i mett cungjuuntameent. Però, cuj primm sfoorz da furmalizazziú ( Zermelo), al è parüü necessari da distinguí i elemeent ch'i i era sí istess di cungjuunt da chij ch'i era mia : un elemeent al era dunca al síes un cungjuunt, al síes un elemeent primitif. Un elemeent primitif, u ur-elemeent al è dunca un elemeent, i.e. un uget süscetíbil da partegní a un cungjuunt, però ch'al è mia sí-istess un cungjuunt, e ch'al cumporta dunca nissü elemeent.

In la teuría da Zermelo-Fraenkel atüala, « tütt-coss al è cungjuunt », e a gh'è plüü d'ur-elemeent, però le prime versiú da Zermelo, ispirade par la teuría naïve, n i cumportava; vargüne assiumàteghe alternative da la teuría di cungjuunt n i gh'a amò. I ur-elemeent i pöö vess cunsideraa cuma lògicameent difereent di cungjuunt; íntal caas indúe A al è un ur-elemeent, « x ∈ A » al gh'a nissü sentüü; inscí, l'assioma d'estensiunalitaa sa l aplica noma aj cungjuunt (si-da-nò , cuma un ur-elemeent al gh'a mia d'elemeent, al sa cunfundaress cul cungjuunt vöj).

Alternativameent, int una lògica mia tipada, sa l pöö avidaa büsögn da dá un sentüü a « x ∈ A » ; chesta espressiú a l'è alura cunsiderada cuma falsa tüte le völte indúe A al è un ur-elemeent. In cheest caas, l'aplicazziú da l'assioma abitüaal d'estensiunalitaa la implicaress, cuma a venemm da vidé, che tütt ur-elemeent sa l cunfund cul cungjuunt vöj. Par evitá cheest-chí, a dévum mudifiá l'assioma d'estensiunalitaa al fí che al pöda s'aplicá noma aj cungjuunt mia-vöj. Sa l núnzia alura par esempi:

assioma d'estensiunalitaa restrecc :

$\forall A,\forall B,[(\exists C/\,C\in A)\wedge (\forall x,(x\in A)\Leftrightarrow (x\in B))]\Rightarrow [A=B]\,$

I.e. :

daa di cungjuunt A e B qual-sa-vöör, si A a l'è un cungjuunt mia vöj (i.e. sa l esiist almaanch un elemeent C in A ), e si A e B i gh'a esatameent i istess elemeent, alura i è iguaj.

Vidée apó

• teuría assiumàtega di cungjuunt
• Cungjuunt
• Classa