Para (matemàtega)

Artícuj relazziunaa a Matemàtega

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

La Koiné occidentala l'è pu accettada dai regoll de la lmo.wiki, donca l'articol l'è da nettà.

In matemàtega, un para da düü uget al è ul dàtum da chiist düü ugett int un úrden determina. Ul para di düü ugett a e b al è nutaa (a,b). Si a e b i è distiint ul para (a,b) al è distiint dal para (b,a). Par sutaligná l’úrden saa pöö parlá da para urdinaa.

Nuzziú da para

I ugett a e b i è cjamaa respetivameent prima cumpusanta e segunda cumpusanta dal para ( a, b ).

Prupietaa caratéristica

Quala-sa-síes la suva definizziú , l'essenza da la nuzziú da para la reseet in la prupietaa caraterística sigütaant :

Düü para i è iguaj si e noma si le suve prime cumpusante d'una part, e le suve segunde cumpusante d’otra banda, i è iguale intra da luur.

dii d’otra manera:

\forall \ a_{1},\forall \ a_{2},\forall \ b_{1},\forall \ b_{2},\,[\ (a_{1},a_{2})=(b_{1},b_{2})\ ]\Leftrightarrow [\ (a_{1}=b_{1})\wedge (a_{2}=b_{2})\ ]\,

Chesta prupietaa a l’è da cumpará a l'igualtaa di dobi, par che b₁ e b₂ i pöö vess permütaa par rapòort a a₁ e a₂, argot ch’al è mia ul caas paj para.

Chest-chí al è cunfirmaa pal corollari chí-da-sota :

Le cumpusante d'un para i pöö mia vess scambiade intra da luur senza mudifiá ul para, traa si i è idéntiche.

u :

\forall \ a,\forall \ b,\,[\ (a,b)=(b,a)\ ]\Leftrightarrow [\ a=b\ ]\,

Par cunseguenza:

par un para ( a , b ) : $b\not =a\Rightarrow (a,b)\not =(b,a)$
par un cungjuunt { a , b } : $\{a,b\}=\{b,a\}$ .

L'úrden da le cumpusante int un para al gh'a inscí da l'impurtanza, d'indúe la definizziú :

Si a a l’è difereent da b , ul para ( b , a ) al è cjamaa para simétrich u amò para recípruch dal para ( a , b ).

Düü para (a₁, b₁) e (a₂, b₂) i è iguaj si e noma si:

a_{1}=a_{2}\ {\rm {e}}\ b_{1}=b_{2}

Prudüit cartesià

Ul cungjuunt da töcc i para da che ul primm elemeent al partegn a un cungjuunt qual-sa-vöör X e ul seguunt elemeent a un cungjuunt qual-sa-vöör Y al è cjamaa prudüit cartesià da chiist düü cungjuunt e sa al nota X×Y. I sübcungjuunt da X×Y i è di [[Curespundenza e relazziú|graaf] ].

Esempi

( 1 , 4 ) e ( 4 , 4 ) i è di para d'intreegh.
Si E = { 1 , 2 , 3 } alura ( { 1 } , { 1 , 3 } ) e ( Ø , { 1 } ) i è di para da parte da E.

I para da Kuratowski

I para i è definii in teuría di cungjuunt da la manera sigütanta :

Par x e y düü cungjuunt qual-sa-vöör, sa l ponn (x, y)={{x},{x, y}}.

Par chesta definizziú sa gh’a da druvá tré völte l'assioma dal para, par furmá ul singletú {x}, par furmá ul cungjuunt (u singletú) {x,’‘y’’}, par furmá infí ul cungjuunt (u singletú) {{x},{x,’‘y’’}}.

Sa a bé definii la nuzziú da para da manera ünica. Sa la mustra in sequenza fàcilameent la prupietaa caraterística, druvaant da manera repetüda l'assioma d'estensiunalitaa :

Par töcc cungjuunt x, y, x' e y' , si {{x},{x, y}}={{x' },{x' ,y' }}, alura x = x' e y = y', cheest int una teuría di cungjuunt ch’a la verifia l'assioma dal para e l'assioma d'estensiunalitaa.

Al è assée da druvá la cundizziú d'igualtaa par düü para (u singletú) (vidé ul paràgraf Singletú e para da l'artícul Cungjuunt), distingueent cun cüra töcc i caas pussíbil.

Al síes {x}={x' } e {x, y}={x' ,y' }. Alura (igualtaa di düü singletú) x=x' . D’otra banda (igualtaa di düü para), u bé x=x' e y=y' , vargot che sa l vöör demustrá; u bé x=y' e y=x' , però cuma d’otra manera x=x' , i 4 elemeent i è iguaj d'indúe ul resültaa.

Al síes {x}={x' ,y' } e {x, y}={x' }. Sa l dedüiss da cheste dò igualtaa che i 4 elemeent i è iguaj d'indúe ul resültaa.

Notemm P( E ) ul cungjuunt da le parte da E. Sa pöö remarcá che si x ∈ X e y ∈ Y alura {x} ∈ P(X∪ Y) e {x, y} ∈ P(X∪ Y), e dunca

(x, y) ∈ P(P(X∪ Y)).

Chest-chí al è ütil par mustrá che ul prudüit cartesià da düü cungjuunt al è bé un cungjuunt (al cuventa l'assioma dal para, l'assioma da la reüniú e l'assioma dal cungjuunt da le parte).

Reciprucameent süpusemm daa un cungjuunt da para C. Alura le cumpusante da C i partegn al cungjuunt E utegnüü par reüniú da la reüniú di elemeent da C, e dunca sa i pöö definí i cungjuunt di prime e da le segunde cumpusante da C par cumprensiú :

E=∪∪C ; A = {x ∈ E / ∃ y (x,y) ∈ C} ; B = {y ∈ E / ∃ x (x,y) ∈ C}

Chest-chí al è ütil par mustrá par esempi che ul cungjuunt da definizziú u ul cungjuunt imàgen d'una relazziú u d'una funziú (vidüü cuma di cungjuunt da para) i è bé di cungjuunt (sa l dröva l'assioma da la reüniú, e ul schéma d'assiòom da cumprensiú).

Generaalisazziú

Un triplet ( a , b , c ) al pöö vess definii cuma ( a , ( b , c ) ) al síes düü para imbricaa. La scèrnida dal úrden d'imbricazziú a l’è pürameent arbitrària. Sa pöö generaalisá a da le n-uple, n intreegh qual-sa-vöör.

Vidée apó

prudüit cartesià

Referenze

Azriaal Levi, Basic Set Theory, Springer Verlag (1979) ISBN 3-540-08417-7