Assioma da la scèrnida

Portal Artícuj relazziunaa a matemàtica

L'assioma da la scèrnida, scürtaa in « AS », al è un assioma da la teuría assiumàtega di cungjuunt.

EnunziaaModifega

« Dada una famèja da cungjuunt mia vöj, al esiist una funziú che a ognidü da luur la assocja ü dij söö elemeent. »

( Vargot ch’al sa tradüiss furmalameent par : Par cada cungjuunt C cuntegnüü in P(E) (indúeP(E)al è ul cungjuunt da le parte d'un cungjuunt E ), al esiist una funziú   cjamada funziú da scèrnida tala che :   )

Al esiist d'otre furmülazziú, intra che le sigütante :

ParticülaritaaModifega

Cheest assioma al fa paart di assiòom upziunaj e cuntruversaa da la teuría di cungjuunt. In efett, l'esistenza d'un uget definii a partí dal assioma da la scèrnida a l’è mia una esistenza custrütiva, i.e. l'assioma al descriif mia cuma custrüí l'uget da che sa l’afirma l'esistenza. Inscí, dí che al esiist una basa dal spazzi veturiaal da le funziú cuntínüe al permett in nissüna manera da dí cuma descriif una tala basa. Da cheest puunt da vista, l'assioma da la scèrnida al pöö parí d'un interess limitaa e al è par cheest che di matemàtich sa i mustra plüü satisfaa d'una démustrazziú s'i pöö evitá da fá recuurs a cheest assioma da la scèrnida. Però la plüüpaart di matemàtich i dröva’l senza reticenza particülara.

L'assioma da la scèrnida al fa mia paart dal zöögh d'assiòom da la teuría di cungjuunt ZF. Sa la cjama teuría ZFS, la teuría ZF münida in plüü dal assioma da la scèrnida.

Esempi indúe l'assioma da la scèrnida a l’è necessariModifega

  • Al síes   una aplicazziú sürgetiva d'un cungjuunt   sü un cungjuunt  . Alura al esiist una aplicazziú ingetiva da   in  . In efett, par tütt   da  , cunsidéremm la paart   da E, custitüida dij antecedeent da   par   e   ul cungjuunt da chesta paart  . Dapress l'assioma da la scèrnida, al esiist una funziú da scèrnida   tala che, par tütt   da  , sa àbies  . Síes-la alura   definida par  .   la socja a cada elemeent   da   un antecedeent particülaar da   par  . Sa pöö alura vérifiá che   al è ingetiva.
A nutá che, inversameent, si   a l’è una aplicazziú ingetiva da   mia vöj in  , alura al esiist una aplicazziú sürgetiva   da   in  , però cheest resültaa al dröva mia l'assioma da la scèrnida. In efett, cuma che   al è mia vöj, al esiist   in  . Al è assée alura da definí   da la manera sigütaant.   si   al gh’a cuma antecedeent (ünich)   par  , e   si  .
  • Al síes R una relazziú d'equivalenza definida par :  . Sa l definiss ul cungjuunt S cul töö ü e noma ü elemeent da cada classa d'equivalenza. Par vargot fá, s’è ubligaa a druvá l'assioma da la scèrnida par che sa la cugnuss mia da funziú ch’a la daga indrée ü e noma ü elemeent da cada classa d'equivalenza, dunca sa pöö noma afirmá l'esistenza da cheest cungjuunt par che sa è mia bú da ‘l custrüí in pràtica. Par di esempi cuncrets, vidé Cungjuunt mia mesüràbil.
  • Ul cungjuunt esteriuur   di ipereaj al deef la suva esistenza a l'assioma da scèrnida

Furme flébile dal assioma da scèrnidaModifega

Al esiist di furme flébil dal assioma da la scèrnida che ul matemàtich al dröva üsüalameent, la plüüpaart dal teemp senza s'en acòorg, a maanch da vess lògicih u « custrütivista »; i serviss a « custrüí » da le sequenze.e i è assulüdameent indispensàbile par esponn a la manera üsüala i fundameent da l'anàlisi.

Assioma da la scèrnida cüntàbilModifega

Cheest assioma, scürtaa in « AD », al è la restrizziú dal assioma da la scèrnida a le famèje cüntàbile :

« Dada una famèja cüntàbil da cungjuunt mia vöj, al esiist una funziú che a ognidü da luur la socja ü dij söö elemeent. »

Al è par esempi druvaa par demustrá che una funziú f definida sü R a l’è cuntínüa in 0 si e noma si f(xn) al teend veers f(0) par cada sequenza (xn) tendeent veers 0. Al permett apó da demustrá che un prudüit cüntàbil da spazzi cumpat al è cumpat, u amò ul teurema da Hahn-Banach par un spazzi da Banach separàbil.

Assioma da la scèrnida dependeentModifega

Cheest assioma, scürtaa in « DS », al assüra che, si R al è una relazziú sü un cungjuunt mia vöj E verifiaant

 ,

al esiist una sequenza (xn) d'elemeent da E tala che

 .

L'assioma DC implica l'assioma AD, senza che cheest chí al síes évöjnt. Al è par esempi druvaa in assioma da fundazziú e plüü generalameent relazziú bé fundade par stabilí l'equivalenza da dò definizziú.

Vidée apóModifega

Liamm internesModifega

Par plüü da detaj : teuría assiumàtega di cungjuunt.

Resültaa liaa a l'assioma da la scèrnida :

Una strana cunseguenza dal assioma da la scèrnida : Ul Paradoss da Banach-Tarski

Liamm da föModifega

<referenzas/>