Imàgen recípruca

Purtaal:matemàtica Artícuj relazziunaa a matemàtica

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

Si $f:X\rightarrow Y$ a l’è una aplicazziú d'un cungjuunt X int un cungjuunt Y, e si B al è un sübcungjuunt da Y, alura a definissemm la suva imàgen recípruca cuma ul sübcungjuunt da X faa sü di elemeent ch’ i gh’a una imàgen par f in B :

$f^{-1}(B)=\{x\in X/f(x)\in B\}$.

Cunsidéremm l'aplicazziú $f:\{1,2,3\}\rightarrow \{a,b,c,d\}$, definida par

$1\mapsto a,\quad 2\mapsto c,\quad 3\mapsto d$

L'imàgen recípruca da {a,b} par f al è $f^{-1}(\{a,b\})=\{1\}$.

Nutemm che cun chesta definizziú , f^-1la deventa una funziú da che ul cungjuunt da definizziú a l’è ul cungjuunt da tüte le parte da Y e da che ul cungjuunt da rivada a l’è ul cungjuunt da le parte da X.

Vargüne cunseguenze imediate da la definizziú :

• Par tüte le parte B₁ e B₂ da Y,

$f^{-1}\left(B_{1}\cup B_{2}\right)=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})$.

$f^{-1}\left(B_{1}\cap B_{2}\right)=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})$.

• par tüta paart B da Y, $f(f^{-1}(B))\subset B$.

$\forall B\subset Y,f(f^{-1}(B))=B\Leftrightarrow f\$ sürgetiva

• par tüta paart A da X, $A\subset f^{-1}(f(A))$

$\forall A\subset X,A=f^{-1}(f(A))\Leftrightarrow f\ {\rm {ingetive}}$

• par tüte le parte A e B da Y,

$f^{-1}\left(A\backslash B\right)=f^{-1}(A)\backslash f^{-1}(B)$

• Par tüta famèja $\left(B_{i}\right)_{i\in I}$ da parte da Y,

$f^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}B_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}f^{-1}(B_{i})$

$f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}B_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f^{-1}(B_{i})$

A disemm in generaal ch’ « cun l'imàgen recípruca tütt-coss al è pussíbil ».

Vidée apó Imàgen direta