Ingezziú (matemàtega)

Purtaal:Matemàtega Artícuj relazziunaa a Matemàtega

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

Una funziú $f:X\to Y$ a l'è cjamada ingetiva u a l’è una ingezziú si par tütt y íntal cungjuunt da rivada Y al esiist al plüü un elemeent x íntal cungjuunt da definizziú X taal che f(x) = y. Sa diis apò, in cheest caas, che cada elemeent y da Y al amet al plüü un antecedeent x (par f).

Da manera equivalenta, f al è cjamada ingetiva si par töcc x e x' in X, f(x) = f(x') al implica x = x'.

Cura che X e Y i è töcc i düü iguaj à la drita reala $\mathbb {R}$, alura una funziú ingetiva $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$la gh'a un graaf ch’al intersega cada drita urizuntala int al plüü un puunt.

Esempi e cuntra-esempi

Cunsideremm la funziú $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ definida par f(x) = 2x + 1. Chesta funziú a l’è ingetiva, gja che par töcc nümar reaj arbitrari x e y', si 2x + 1 = 2y' + 1, alura 2x = 2y', i.e. x = y'.

D’otra banda, la funziú $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ definida par g(x) = x² al è mia ingetiva, par che (par esempi) g(1) = 1 = g(-1).

D’otra banda, si a definíssum la funziú $h:\mathbb {R} _{+}\rightarrow \mathbb {R}$ par la istessa relazziú che g, però cul cungjuunt da definizziú ristrecc al cungjuunt di reaj pusitiif, alura la funziú h a l'è ingetiva. Una esplicazziú a l’è che, par di reaj pusitiif arbitrari, daa x e y', si x² = y'², alura |x| = |y'|, inscí x = y'.

Prupietaa

• Una funziú $f:X\to Y$ a l'è ingetiva si e noma si X al è l'cungjuunt vöj u al esiist una funziú $g:Y\to X$tala che $g\circ f$ al síes iguaal à l'aplicazziú idéntica sü X.
• Una funziú a l’è bigetiva si e noma si la a l’è cuntempuraniameent ingetiva e sürgetiva.
• Si $g\circ f$ a l'è ingetiva, alura f a l'è ingetiva.
• Si f e g i è tüte i düü ingetive, alura g ^o f a l'è ingetiva.
• $f:X\to Y$ a l'è ingetiva si e noma si, par tüte funziú dade $g,h:W\to X$ cura che f ^o g = f ^o h, alura g = h. In d'òolt tèrmen, le funziú ingetive i è precisameent i monimurfiism da la categuría di cungjuunt.
• $f:X\to Y$ a l'è ingetiva e A al è un sübcungjuunt da X, alura f ^-1(f(A)) = A. Inscí, A al pöö vess retruvaa à partí da l'Image recípruca da f(A).
• Si $f:X\to Y$ a l'è ingetiva e A e B i è di sübcungjuunt da X, alura f(A n B) = f(A) n f(B).
• Tüta funziú $h:W\to Y$pöö vess descumpunüda cuma h = f ^o g par una ingezziú f e una sürgezziú g cunvenàbile . Chesta descumpusizziú a l’è ünica à maanch d'un isumurfiism, e f la pöö vess cunsiderada cuma la funziú inclüsiú da l'imàgen da h, h(W) int un sübcungjuunt dal cungjuunt da rivada Y da h.
• Si $f:X\to Y$ a l’è una funziú ingetiva, alura Y al gh'a almaanch taant d'elemeent che X, al sentüü di cardinaj.
• Si sa l nota $E\leq F$ la prupietaa « al esiist una ingezziú dal cungjuunt $E$ íntal cungjuunt $F$», alura $\leq$ la verifica i prupietaa d'una relazziú d'úrden süj cardinaj (sa pöö mia dí, mia-da-maanch che $\leq$ a l’è una relazziú , par che l’è definida sü una classa e mia sü un cungjuunt, in virtüü dal Paradoss da Russell). La reflessivitaa e la transitivitaa i è stade tratade al cuurs di esempi precedeent, e l'antissimetría a l'è l'uget dal Teurema da Cantor-Bernstein.

Vidée apó

• Sürgezziú
• Bigezziú