Límit (matemàtega)

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

La noziun da límit l'è bèla-e-intuitiva, malgraa la suva formülaziun astrata. Per dànn una introdüzziun sémplis, a-parlaremm chí dumà dal cas di sequenz(i) da nümer reaal e da chel di funziun reaal a una variàbil reaal.

Límit d'una sequenza

Introdüzziun

I sequenz(i) a-inn i funziun cun dumini da definiziun $\mathbb {N} \,\!$, u, di voeult $\mathbb {Z} \,\!$ (suratütt in analisa da Fourier). Chí a-tra(c)taremm dumà ul prim cas. Cunsideraa che ogni nümer inter l-è isulaa, là sa cunsídera nò l’idéa da límit da la sequenza: l'esist, da fatt, dumà la suva valur. Ind altri paroll, sa-poeu nò acustàss a $n\in \mathbb {N}$ per mezz da diferent punt in $N$. Cunsideremm dunca dumà la noziun da límit per $n\to +\infty$; le cjamaremm -bell'e sémplis- « límit da la sequenza».

Definiziun, cunvergenza, desvergenza

• Cas dal límit finii $l\in \mathbb {R} \,\!$: per ogni « descart da toleranza » $\epsilon >0\,\!$ al-esist un « nümer inter da cunfidenza » $N_{0}\in \mathbb {N} \,\!$ tal che, per $n\,\!$ püssee graant che $N_{0}\,\!$, la valur $u_{n}\,\!$ l-è vesina a $l\,\!$ per manch da $\epsilon \,\!$:

$n\geq N_{0}\ \Rightarrow l-\epsilon \leq u_{n}\leq l+\epsilon \,\!$

Sa-scriif alura $\lim(u_{n})=l\,\!$, e sa-dis che $(u_{n})\,\!$ al-tend (u anca cunverg) a $l\,\!$.

Una sequenza a(d)metent un límit finii l'è cjamada cunvergent. Al-var ul teorema seguent: Ogni sequenza convergent l'è limitada.

• Cas dal límit infinii: destinguem düü cas:

A)$+\infty \,$ e B) $-\infty \,$. Per ogni «söja da toleranza» $M>0\,\!$ al-cuventa che al sia pussíbil truvà un « nümer inter da cunfidenza » $N_{0}\in \mathbb {N} \,\!$ a partí dal qual i valur da $\vert (u_{n})\vert \,$ síen püssee grandi che $M\,\!$ e i $(u_{n})\,$ se mantègnen positiif -int ul cas A)- e negatiif -int ul cas B)-:

• • $n\geq N_{0}\ \Rightarrow \vert u_{n}\vert \geq M\,\!$ per $\lim(u_{n})=+\infty \,\!$
  • $n\geq N_{0}\ \Rightarrow u_{n}\leq M\,\!$ per $\lim(u_{n})=-\infty \,\!$.

Al cuventa anca, int ul cas A) $n\geq N_{0}\ \Rightarrow u_{n}>0\,\!$ e, int ul cas B) $n\geq N_{0}\ \Rightarrow u_{n}<0\,\!$.

Sa-dis alura che $(u_{n})\,\!$ al-tend (u diverg) a: A)$+\infty \,\!$, B) $-\infty \,\!$.

NB: Sa-parla da sequenza convergent dumà quaand chela sequenza-lí l'a(d)met un límit finii, da sequenza divergent int i cas A) e B), da sequenza indeterminada in tücc i òlter cas.

NB: Sa-poeu anca parlà da límit $\infty \,\!$ quaand $\lim {1 \over (u_{n})}=0$. Ches-chí al-resüm i cas A) e B) e, anca ben, ul cas $n\geq N_{0}\ \Rightarrow \vert u_{n}\vert \geq M\,\!$ e però i $(u_{n})$ pòden cambià segn da manera arbitrària.

Süb-sequenz(i)

Sa-parla da süb-sequenza, u da sequenza extracta, da la sequenza $(u_{n})\,\!$ quaand sa-scerníssen "dumà di" element da $(u_{n})\,\!$: inscí sa-cunsídera dumà una part da l'informaziun. L'esempi ul püssee clàssic l-è chel di süb-sequenz(i) $(u_{2n})\,\!$ di tèrmin da sitt pari, e $(u_{2n+1})\,\!$ di tèrmin da sitt díspari. Püssee generalment, sa-designa cunt ul tèrmin « estrazziun » ogni aplicaziun $\phi \ :\ \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} \,\!$ stregjament cressent. Alura una süb-sequenza l'è una sequenza da la forma $(u_{\phi (n)})\,\!$.

Una proprietaa important l'è che una sequenza $(u_{n})\,\!$ a(d)met límit (finii u infinii) si e dumà si ogni süb-sequenza $(u_{\phi (n)})\,\!$ a(d)met l'istess límit.

L'operaziun da passagg al límit l-è linear int ul sentüü seguent : si $x_{n}$ e $y_{n}$ a-inn di sequenz(i) reaal convergent, tal che $\lim _{n\to \infty }x_{n}=L$ e $\lim _{n\to \infty }y_{n}=P$, alura anca la sequenza $x_{n}+y_{n}$ l'è convergent e la gh-ha per límit $L+P$. Si $a$ l-è un nümer reaal, alura la sequenza $a\cdot x_{n}$ l’è convergent cun límit $aL$. Inscí, ul conjunt??? C da tüti i sequenz(i) reaal convergent l-è un spazi vectorial reaal e l'operaziun da passagg al límit l-è una forma linear reaal sura C. Anca, la sequenza $x_{n}\cdot y_{n}$ l’è convergent cun límit LP. Dunca ul spazi ve(c)torial C l-è da fatt un'algebra reaal. Si P l-è nò 0, alura sa-poeu truvà $N\in {\mathbb {N} }$ tal che la sequenza $x_{n}+y_{n},\quad n\geq N$ l'è ben definida e cunvergent cun límit $L/P$.

Ogni sequenza cunvergeent l'è limitada, cunsideraa che tücc i tèrmin (salvaa un nümer finii), a-inn deent un interval intorn al límit. Si (x_n) l'è una sequenza da nümer reaal, limitada da sura e cresseent -u anca limitada da bass e decresseent-, alura l-è necessariament convergeent.

Ogni sequenza da Cauchy da nümer reaal l'è convergeent, u, püssee sémplis: ul conjunt??? di nümer reaal l-è cumplet.

Esempi:

• La sequenza (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) da nümer reaj l'è convergeent, cun límit 0.
• La sequenza (3, 3, 3, 3, 3, ...) l’è convergeent cun límit 3.
• La sequenza $n\mapsto u(n):=(-1)^{n}=(-1,1,-1,1,...)$ l’è nò convergeent, però i soeu süb-sequenz(i) $n\mapsto u(2n)$ e $n\mapsto u(2n+1)$ sí.
• La sequenza (1, -2, 3, -4, 5, ...) la gh-ha límit $\infty$.
• La sequenza (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ...) l'è convergeent, cun límit 1. Chesta sequenza-chí l'è un esempi da série geométrica.
• Si a l-è un nümer reaal cun valur absolüda |a| < 1, alura la sequenza da tèrmin generaal aⁿ la gh-ha límit 0.
• Si a >0, alura la sequenza da tèrmin generaal a^1/n la gh-ha límit istess che 1.
• La sequenza $n\mapsto u(n):=(1+1/n)^{n}$ la-converg a e e, per ogni nümer reaal (da fatt cumpless) x, la sequenza $n\mapsto u(n):=(1+x/n)^{n}$ la-converg a $e^{x}$.

Límit da funziun

Al cuventa descerní ul cas dal límit ind un punt reaal finii e chel dal límit a l'infinii ("positiif" u "negatiif").

Límit d'una funziun ind un punt a

Límit finii

Si $f\,\!$ l'è una funziun reaal da variàbil reaal e $a\,\!$ un punt dal dumini da definiziun da f, sa-dis che $l\in \mathbb {R} \,\!$ l-è ul límit da $f\,\!$ in $a\,\!$ si :

• intuitivament : $f(x)\,\!$ la s'acòsta a $l\,\!$ in la mesüra che $x\,\!$ s'acosta a$a\,\!$ ;
• cun püssee da rigur, per ogni « descart da toleranza » $\epsilon >0\,\!$ sa-poeu truvà un « descart da cunfidenza » $\delta >0\,\!$ tal che, quaand $x\,\!$ l-è vesin a $a\,\!$ per manch da $\delta \,\!$, alura $f(x)\,\!$ l-è vesin a $l\,\!$ per manch da $\epsilon \,\!$.

In símbul: $a-\delta \leq x\leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon$

(illüstraziun 1)

Ind altri paroll, sa-poeu fà $f(x)\,\!$ tant vesin a $l\,\!$ quaand sa-voeur, sura un interval -si assee piscin-, intorn a $a\,\!$.

In chest cas-chí, sa-scriif $\lim _{x\to a}f(x)=l\,\!$.

Límit infinii

A poeu anca süced che, int ul punt $a\,\!$, la funziun $f\,\!$ la gh-hàbja nò límit finii, ma infinii. Ches-chí a-voeur dí che, acustand-u-s a $a\,\!$ la valur da $f\,\!$ "s'acosta" a $+\infty \,\!$ u a $-\infty \,\!$ id est, al-deventa graant quaand sa-voeur in valur absolüda e sa-mantegn da segn positiif (cas da $+\infty \,\!$) u negatiif ($-\infty \,\!$).

La formülaziun matemàtica l'è alura la segueent : per ogni «söja da toleranza» $M>0\,\!$ sa-poeu truvà un « descart da confidenza » $\delta >0\,\!$ tal che, quaand $x\,\!$ l-è vesin a $a\,\!$ per manch da $\delta \,\!$, alura $\vert f(x)\vert \,\!$ l-è püssee graant che $M\,\!$ e $f\!$ sa-mantegn da segn costant: $a-\delta \leq x\leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x)\vert \geq M$ e: $f(x)>0$ pel cas dal límit $+\infty$, $f(x)<0$ pel cas dal límit $-\infty$.

(illüstraziun 2)

Ind altri paroll, sa-poeu fà $f(x)\,\!$ tant vesin a $\pm \infty$ che sa-voeur, sura un interval -si assee piscin-, intorn a $a\,\!$.

In chest cas-chí sa-scriif $\lim _{x\to a}f(x)=+\infty \,\!$ (u $\lim _{x\to a}f(x)=-\infty \,\!$).

NB: Anca per i funziun da variàbil reaal, sa-poeu parlà da límit $\infty \,\!$, quaand $\lim _{x\to a}{1/f(x)}=0$. Ches-chí al-resüm i cas $\pm \infty \,\!$ e, anca ben, ul cas che $a-\delta \leq x\leq a+\delta \ \Rightarrow \vert \ f(x)\vert \geq M$ però $f$ la-poeu cambià segn da manera arbitrària. Ches-chí a-poeu minga süced per funziun contínui in $(a-\delta ,x)\bigcup (x,a+\delta )$.

Límit a manzina, a drita

A-poeu süced anca che ul cumportameent (/kumpòrta'ment/???) local da la funziun $f\,\!$ al-sia difereent « a manzina » da $a\,\!$ (i.e. per i $x<a\,\!$) e « a drita » da $a\,\!$ (i.e. per i $x>a\,\!$). Per esempi, una funziun la-poeu a(d)mett un límit a drita e minga a manzina, u anca a(d)mett düü límit difereent da ogni coté.

(illustraziun 3)

A-semm dunca portaa a introdü(r) i noziun da límit a drita e a manzina ; l'ünica diferenza cunt i límit « normaj » l'è che la prossimitaa da $f(x)\,\!$ cun $l\,\!$ u $\pm \infty \,\!$ l-è dumandada dumà per un coté da $a\,\!$. I definiziun e notaziun curespundeent devénten dunca :

• pel límit a manzina :

$\lim _{x\to a,x<a}f(x)=l,\!$ quaand

$a-\delta \leq x<a\ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon$

$\lim _{x\to a,x<a}f(x)=+\infty \,\!$ quaand

$a-\delta \leq x<a\ \Rightarrow \ f(x)\geq M$

• pel límit à drita :

$\lim _{x\to a,x>a}f(x)=l,\!$ quaand

$a<x\leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon$

$\lim _{x\to a,x>a}f(x)=+\infty \,\!$ quaand

$a<x\leq a+\delta \ \Rightarrow \ f(x)\geq M$

I noziun da límit a drita e a manzina a-inn manch resrictiif che la noziun clàssica da límit « bilateraal » : una funziun la-poeu avègh un límit a manzina e un límit a drita senza avègh un límit bilateraal. Da fatt la-var la propietaa :

Una funziun la-gh-ha un límit in un punt $a\,\!$ si e dumà si la-gh-ha un límit a manzina $l_{e}\,\!$, un límit a drita $l_{d}\,\!$ e i düü a-inn istess : $l_{g}=l_{d}\,\!$

Límit d'una funziun in $\pm \infty \,\!$

Adess cunsideremm ul cumportameent d'una funziun f -definida per ogni x assee graant in valur absolüda- « ai límit » dal dumini da definiziun, sia quaand $x\,\!$ al-cress indefinidament (límit in $+\infty$), sia quaand $x\,\!$ al-decress indefinidament (límit in $-\infty$).

Sa-poeu notà che, in chest cuntest-chí, la noziun da límit a drita u a manzina la-gh-ha minga sentüü; da fatt i límit in $+\infty$ a-inn sempru di límit à manzina e i límit in $-\infty$ a-inn sempru di límit à drita.

Límit finii

A-diremm che la funziun $f\,\!$ a(d)met ul límit finii $l\,\!$ in $+\infty$ si$f(x)\,\!$ s'acosta a $l\,\!$ in la mesüra che $x\,\!$ al-deventa püssee grand (u « al-tend a $+\infty \,\!$ »).

Matematicament, ches-chí al-sa-tradüss per mezz dal fatt che, per ogni « descart da toleranza » $\epsilon >0\,\!$ sa-poeu truvà una «söja da confidenza» $M>0\,\!$ al da là da la qual la nostra funziun la-toeu valur deent l'interval da toleranza, da centru $l\,\!$ e radi $\epsilon \,\!$ : $x\geq M\ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon$

(illustraziun 4)

Ind altri paroll, sa-poeu fà $f(x)\,\!$ tant vesin a $l\,\!$ che sa-voeur, a partí d'una söja convenieent, i.e. assee graant.

In chest cas-chí sa-scriif $\lim _{x\to +\infty }f(x)=l\,\!$.

Tütt ches-chí al-s'ada(p)ta facilment al cas dal límit in $-\infty$ : sa-dis che $f(x)\,\!$ al-tend a $l\,\!$ quaand $x$ al-tend a $-\infty$ si per un descart $\epsilon >0\,\!$ sa-poeu truvà una söja $M<0\,\!$ tal che : $x\leq M\ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon$ e sa-scriverà $\lim _{x\to -\infty }f(x)=l\,\!$.

Límit infinii

Diremm che la funziun $f\,\!$ a(d)met ul límit $\pm \infty \,\!$ in $+\infty$ si$\vert f(x)\vert \,\!$ al-deventa arbitrariament graant in la mesüra che $x\,\!$ al-deventa püssee graant (u « al-tend a $+\infty \,\!$ »). Da püssee, $f(x)\,\!$ resta da segn positiif ($+\infty \,\!$) u negatiif ($-\infty \,\!$) per sti x . La permanenza dal segn l'è minga dumandada si sa-parla dumà da límit $\infty \,\!$.

Matematicament, ches-chí sa-tradüss per mezz dal fatt che, per ogni «söja da toleranza» $K>0\,\!$ sa-poeu truvà una «söja da confidenza» $M>0\,\!$ dopu ul qual la nostra funziun prenderà valur dent l'interval da toleranza, i.e. $(K,+\infty )\,\!$ (cas $+\infty \,\!$), $(-\infty ,-K)\,\!$ (cas $-\infty \,\!$) u $(-\infty ,-K)\bigcup (K,+\infty )\,\!$ (cas $\infty \,\!$).

(illüstraziun 5)

Ind altri paroll, sa-poeu fà $f(x)\,\!$ tant vesin a $\pm \infty \,\!$ (u $\infty \,\!$) che sa-voeur, a partí d'una ??? convenieent, i.e. assee graant.

In chest cas-chí sa-scriif $\lim _{x\to +\infty }f(x)=\pm \infty \,\!$ u $\lim _{x\to +\infty }f(x)=\infty \,\!$.

Tütt ches-chí s'ada(p)ta facilment al cas dal límit in $-\infty$ : diremm che la funziun $f\,\!$ a(d)met ul límit $\pm \infty \,\!$ in $-\infty$ si$\vert f(x)\vert \,\!$ al-deventa arbitrariament graant in la mesüra che $x\,\!$ al-deventa püssee graant in valur absolüda, ma al-gh-ha segn negatiif (u « al-tend a $-\infty \,\!$ »). Da plüü, $f\,\!$ la-resta cun segn positiif ($+\infty \,\!$) u negatiif ($-\infty \,\!$) per sti x. La permanenza dal segn l'è minga demandada si sa-parla dumà da límit $\infty \,\!$.

Matematicament, ches-chí sa-tradüss per mezz dal fatt che, per ogni «söja da toleranza» $K>0\,\!$ sa-poeu truvà una «söja da confidenza» $M<0\,\!$ prima dal qual la nostra funziun prenderà valur deent l'interval da toleranza, i.e. $(K,+\infty )\,\!$ (cas $+\infty \,\!$), $(-\infty ,-K)\,\!$ (cas $-\infty \,\!$) u $(-\infty ,-K)\bigcup (K,+\infty )\,\!$ (cas $\infty \,\!$).

(illustraziun 6)

Ind altri paroll, sa-poeu fà $f(x)\,\!$ tant vesin a $\pm \infty \,\!$ (u $\infty \,\!$) che sa-voeur, a partir d'una söja convenieent, i.e. assee graant.

In chest cas-chí sa-scriif $\lim _{x\to +\infty }f(x)=\pm \infty \,\!$ u $\lim _{x\to +\infty }f(x)=\infty \,\!$.

L'operaziun da passagg al límit (u al límit a drita/manzina) l'è linear anca per i funziun da variàbil reaal, ind ul sentüü seguent: al-sia x₀ un punt da la re(c)ta reaal cumpletada, i.e. un nümer reaal finii u $\pm \infty$. Si f e g a-inn di funziun da variàbil reaal che a(d)meten límit L e P a x₀, alura anca la funziun f+g í a(d)met límit, e chest límit-chí l-è L+P. Si a l-è un nümer reaal, alura la funziun a f a(d)met límit a x₀, e chest límit l-è aL. Inscí, ul conjunt???

K da tüti i funziun che a(d)meten límit in x0 l-è un spazi ve(c)torial reaal e l'operaziun da passagg al límit l-è una forma linear reaal sura K.

Si f e g a-inn di funziun da variàbil reaal che a(d)meten límit L e P a x₀, alura anca la funziun fg í a(d)met límit, e chest límit l-è LP, inscí ul spazi ve(c)torial K l-è da fatt un'algebra reaal. Si P l-è minga 0, alura sa-poeu truvà un interval intorn a x₀ indúa f/g l-è ben definida; ul sò límit a x₀ l-è L/P.

Esempi:

• Ul límit da $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ quaand x al-tend a $\pm \infty$ l-è istess che 0. Ciaav da la demostraziun per $+\infty$: si $x\geq M$, alura ${\frac {1}{x}}\leq 1/M$.
• Ul límit a drita da $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ quaand x al-tend a 0 (0⁺) l-è $+\infty$.

Ciaav da la demostraziun: si $0<x\leq \delta$, alura ${\frac {1}{x}}\geq {\frac {1}{\delta }}$.

• Ul límit a manzina da $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ quaand x al-tend a 0 (0^-) l-è $-\infty$.
• Ul límit da $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ quaand x al-tend a 0 (0⁺) l-è $\infty$.
• Ul límit da $x\mapsto x^{2}$ quaand x al-tend a 3 l-è istess che 9 (In chest cas-chí la funziun l-è definida e contínua in chest punt-chí, e la valur da la funziun l-è istess chel límit). Ciaav da la demostraziun: si $2\leq x\leq 4$, alura $\vert x^{2}-9\vert =\vert (x+3)\vert \cdot \vert (x-3)\vert \leq 7\cdot \vert (x-3)\vert$.
• Ul límit da $x\mapsto \vert x\vert ^{\vert x\vert }$ quaand x al-tend a 0 l-è istess che 1.
• Ul límit da $x\mapsto {\frac {(a+x)^{2}-a^{2}}{x}}$ quaand x al-tend a 0 l-è istess che 2a.
• Ul límit a drita da $x\mapsto {\frac {\vert x\vert }{x}}$ quaand x al-tend a 0 l-è istess che 1; ul límit a manzina l-è igual à -1.
• Ul límit da $x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}$ quaand x x al-tend a 0 l-è istess che 1.
• Ul límit da $x\mapsto {\frac {\cos(x)-1}{x}}$ quaand x al-tend a 0 l-è istess che 0.
• Ul límit da $x\mapsto {\frac {\cos(x)-1}{x^{2}}}$ quaand x al-tend a 0 l-è istess che 1/2.
• Ul límit da $x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}+\vert x\vert ^{\vert x\vert }$ quaand x x al-tend a 0 l-è istess che 2.
• Ul límit da $x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}\cdot \vert x\vert ^{\vert x\vert }$ quaand x x al-tend a 0 l-è istess che 1.

Lligam??? tra i límit da sequenz(i) e da funziun

Sa-poeu pruvà che $\lim _{x\to +x_{0}}f(x)=y_{0}\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }f(u_{n})=y_{0}$ per ogni sequenza $(u_{n})=$ tal che $\lim _{n\to \infty }(u_{n})=x_{0}$, i.e. per ogni sequenza convergeent a $x_{0}$.

Complements

• Operaziun cunt i límit
• Proprietaa di límit
• Límit da referenza
• Teorèma di gendarm