Apri il menu principale

La noziun da límit l'è bèla-e-intuitiva, malgraa la suva formülaziun astrata. Per dànn una introdüzziun sémplis, a-parlaremm chí dumà dal cas di sequenz(i) da nümer reaal e da chel di funziun reaal a una variàbil reaal.

Límit d'una sequenzaModifica

IntrodüzziunModifica

I sequenz(i) a-inn i funziun cun dumini da definiziun , u, di voeult (suratütt in analisa da Fourier). Chí a-tra(c)taremm dumà ul prim cas. Cunsideraa che ogni nümer inter l-è isulaa, là sa cunsídera nò l’idéa da límit da la sequenza: l'esist, da fatt, dumà la suva valur. Ind altri paroll, sa-poeu nò acustàss a per mezz da diferent punt in . Cunsideremm dunca dumà la noziun da límit per ; le cjamaremm -bell'e sémplis- « límit da la sequenza».

Definiziun, cunvergenza, desvergenzaModifica

  • Cas dal límit finii : per ogni « descart da toleranza » al-esist un « nümer inter da cunfidenza » tal che, per püssee graant che , la valur l-è vesina a per manch da :

Sa-scriif alura , e sa-dis che al-tend (u anca cunverg) a .

Una sequenza a(d)metent un límit finii l'è cjamada cunvergent. Al-var ul teorema seguent: Ogni sequenza convergent l'è limitada.

  • Cas dal límit infinii: destinguem düü cas:

A) e B) . Per ogni «söja da toleranza» al-cuventa che al sia pussíbil truvà un « nümer inter da cunfidenza » a partí dal qual i valur da síen püssee grandi che e i se mantègnen positiif -int ul cas A)- e negatiif -int ul cas B)-:

    • per
    • per .

Al cuventa anca, int ul cas A) e, int ul cas B) .

Sa-dis alura che al-tend (u diverg) a: A), B) .

NB: Sa-parla da sequenza convergent dumà quaand chela sequenza-lí l'a(d)met un límit finii, da sequenza divergent int i cas A) e B), da sequenza indeterminada in tücc i òlter cas.

NB: Sa-poeu anca parlà da límit quaand . Ches-chí al-resüm i cas A) e B) e, anca ben, ul cas e però i pòden cambià segn da manera arbitrària.

Süb-sequenz(i)Modifica

Sa-parla da süb-sequenza, u da sequenza extracta, da la sequenza quaand sa-scerníssen "dumà di" element da : inscí sa-cunsídera dumà una part da l'informaziun. L'esempi ul püssee clàssic l-è chel di süb-sequenz(i) di tèrmin da sitt pari, e di tèrmin da sitt díspari. Püssee generalment, sa-designa cunt ul tèrmin « estrazziun » ogni aplicaziun stregjament cressent. Alura una süb-sequenza l'è una sequenza da la forma .

Una proprietaa important l'è che una sequenza a(d)met límit (finii u infinii) si e dumà si ogni süb-sequenza a(d)met l'istess límit.

L'operaziun da passagg al límit l-è linear int ul sentüü seguent : si e a-inn di sequenz(i) reaal convergent, tal che e , alura anca la sequenza l'è convergent e la gh-ha per límit . Si l-è un nümer reaal, alura la sequenza l’è convergent cun límit . Inscí, ul conjunt??? C da tüti i sequenz(i) reaal convergent l-è un spazi vectorial reaal e l'operaziun da passagg al límit l-è una forma linear reaal sura C. Anca, la sequenza l’è convergent cun límit LP. Dunca ul spazi ve(c)torial C l-è da fatt un'algebra reaal. Si P l-è nò 0, alura sa-poeu truvà tal che la sequenza l'è ben definida e cunvergent cun límit .

Ogni sequenza cunvergeent l'è limitada, cunsideraa che tücc i tèrmin (salvaa un nümer finii), a-inn deent un interval intorn al límit. Si (xn) l'è una sequenza da nümer reaal, limitada da sura e cresseent -u anca limitada da bass e decresseent-, alura l-è necessariament convergeent.

Ogni sequenza da Cauchy da nümer reaal l'è convergeent, u, püssee sémplis: ul conjunt??? di nümer reaal l-è cumplet.

Esempi:Modifica

  • La sequenza (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) da nümer reaj l'è convergeent, cun límit 0.
  • La sequenza (3, 3, 3, 3, 3, ...) l’è convergeent cun límit 3.
  • La sequenza l’è nò convergeent, però i soeu süb-sequenz(i) e sí.
  • La sequenza (1, -2, 3, -4, 5, ...) la gh-ha límit .
  • La sequenza (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ...) l'è convergeent, cun límit 1. Chesta sequenza-chí l'è un esempi da série geométrica.
  • Si a l-è un nümer reaal cun valur absolüda |a| < 1, alura la sequenza da tèrmin generaal an la gh-ha límit 0.
  • Si a >0, alura la sequenza da tèrmin generaal a1/n la gh-ha límit istess che 1.
  • La sequenza la-converg a e e, per ogni nümer reaal (da fatt cumpless) x, la sequenza la-converg a .

Límit da funziunModifica

Al cuventa descerní ul cas dal límit ind un punt reaal finii e chel dal límit a l'infinii ("positiif" u "negatiif").

Límit d'una funziun ind un punt aModifica

Límit finiiModifica

Si   l'è una funziun reaal da variàbil reaal e   un punt dal dumini da definiziun da f, sa-dis che   l-è ul límit da   in   si :

  • intuitivament :   la s'acòsta a   in la mesüra che   s'acosta a  ;
  • cun püssee da rigur, per ogni « descart da toleranza »   sa-poeu truvà un « descart da cunfidenza »   tal che, quaand   l-è vesin a   per manch da  , alura   l-è vesin a   per manch da  .

In símbul:  

(illüstraziun 1)

Ind altri paroll, sa-poeu fà   tant vesin a   quaand sa-voeur, sura un interval -si assee piscin-, intorn a  .

In chest cas-chí, sa-scriif  .

Límit infiniiModifica

A poeu anca süced che, int ul punt  , la funziun   la gh-hàbja nò límit finii, ma infinii. Ches-chí a-voeur dí che, acustand-u-s a   la valur da   "s'acosta" a   u a   id est, al-deventa graant quaand sa-voeur in valur absolüda e sa-mantegn da segn positiif (cas da  ) u negatiif ( ).

La formülaziun matemàtica l'è alura la segueent : per ogni «söja da toleranza»   sa-poeu truvà un « descart da confidenza »   tal che, quaand   l-è vesin a   per manch da  , alura   l-è püssee graant che   e   sa-mantegn da segn costant:   e:   pel cas dal límit  ,   pel cas dal límit  .

(illüstraziun 2)

Ind altri paroll, sa-poeu fà   tant vesin a   che sa-voeur, sura un interval -si assee piscin-, intorn a  .

In chest cas-chí sa-scriif   (u  ).

NB: Anca per i funziun da variàbil reaal, sa-poeu parlà da límit  , quaand  . Ches-chí al-resüm i cas   e, anca ben, ul cas che   però   la-poeu cambià segn da manera arbitrària. Ches-chí a-poeu minga süced per funziun contínui in  .

Límit a manzina, a dritaModifica

A-poeu süced anca che ul cumportameent (/kumpòrta'ment/???) local da la funziun   al-sia difereent « a manzina » da   (i.e. per i  ) e « a drita » da   (i.e. per i  ). Per esempi, una funziun la-poeu a(d)mett un límit a drita e minga a manzina, u anca a(d)mett düü límit difereent da ogni coté.

(illustraziun 3)

A-semm dunca portaa a introdü(r) i noziun da límit a drita e a manzina ; l'ünica diferenza cunt i límit « normaj » l'è che la prossimitaa da   cun   u   l-è dumandada dumà per un coté da  . I definiziun e notaziun curespundeent devénten dunca :

  • pel límit a manzina :
  quaand
 
  quaand
 
  • pel límit à drita :
  quaand
 
  quaand
 

I noziun da límit a drita e a manzina a-inn manch resrictiif che la noziun clàssica da límit « bilateraal » : una funziun la-poeu avègh un límit a manzina e un límit a drita senza avègh un límit bilateraal. Da fatt la-var la propietaa :

Una funziun la-gh-ha un límit in un punt   si e dumà si la-gh-ha un límit a manzina  , un límit a drita   e i düü a-inn istess :  

Límit d'una funziun in  Modifica

Adess cunsideremm ul cumportameent d'una funziun f -definida per ogni x assee graant in valur absolüda- « ai límit » dal dumini da definiziun, sia quaand   al-cress indefinidament (límit in  ), sia quaand   al-decress indefinidament (límit in  ).

Sa-poeu notà che, in chest cuntest-chí, la noziun da límit a drita u a manzina la-gh-ha minga sentüü; da fatt i límit in   a-inn sempru di límit à manzina e i límit in   a-inn sempru di límit à drita.

Límit finiiModifica

A-diremm che la funziun   a(d)met ul límit finii   in   si  s'acosta a   in la mesüra che   al-deventa püssee grand (u « al-tend a   »).

Matematicament, ches-chí al-sa-tradüss per mezz dal fatt che, per ogni « descart da toleranza »   sa-poeu truvà una «söja da confidenza»   al da là da la qual la nostra funziun la-toeu valur deent l'interval da toleranza, da centru   e radi   :  

(illustraziun 4)

Ind altri paroll, sa-poeu fà   tant vesin a   che sa-voeur, a partí d'una söja convenieent, i.e. assee graant.

In chest cas-chí sa-scriif  .

Tütt ches-chí al-s'ada(p)ta facilment al cas dal límit in   : sa-dis che   al-tend a   quaand   al-tend a   si per un descart   sa-poeu truvà una söja   tal che :   e sa-scriverà  .

Límit infiniiModifica

Diremm che la funziun   a(d)met ul límit   in   si  al-deventa arbitrariament graant in la mesüra che   al-deventa püssee graant (u « al-tend a   »). Da püssee,   resta da segn positiif ( ) u negatiif ( ) per sti x . La permanenza dal segn l'è minga dumandada si sa-parla dumà da límit  .

Matematicament, ches-chí sa-tradüss per mezz dal fatt che, per ogni «söja da toleranza»   sa-poeu truvà una «söja da confidenza»   dopu ul qual la nostra funziun prenderà valur dent l'interval da toleranza, i.e.   (cas  ),   (cas  ) u   (cas  ).

(illüstraziun 5)

Ind altri paroll, sa-poeu fà   tant vesin a   (u  ) che sa-voeur, a partí d'una ??? convenieent, i.e. assee graant.

In chest cas-chí sa-scriif   u  .

Tütt ches-chí s'ada(p)ta facilment al cas dal límit in   : diremm che la funziun   a(d)met ul límit   in   si  al-deventa arbitrariament graant in la mesüra che   al-deventa püssee graant in valur absolüda, ma al-gh-ha segn negatiif (u « al-tend a   »). Da plüü,   la-resta cun segn positiif ( ) u negatiif ( ) per sti x. La permanenza dal segn l'è minga demandada si sa-parla dumà da límit  .

Matematicament, ches-chí sa-tradüss per mezz dal fatt che, per ogni «söja da toleranza»   sa-poeu truvà una «söja da confidenza»   prima dal qual la nostra funziun prenderà valur deent l'interval da toleranza, i.e.   (cas  ),   (cas  ) u   (cas  ).

(illustraziun 6)

Ind altri paroll, sa-poeu fà   tant vesin a   (u  ) che sa-voeur, a partir d'una söja convenieent, i.e. assee graant.

In chest cas-chí sa-scriif   u  .

L'operaziun da passagg al límit (u al límit a drita/manzina) l'è linear anca per i funziun da variàbil reaal, ind ul sentüü seguent: al-sia x0 un punt da la re(c)ta reaal cumpletada, i.e. un nümer reaal finii u  . Si f e g a-inn di funziun da variàbil reaal che a(d)meten límit L e P a x0, alura anca la funziun f+g í a(d)met límit, e chest límit-chí l-è L+P. Si a l-è un nümer reaal, alura la funziun a f a(d)met límit a x0, e chest límit l-è aL. Inscí, ul conjunt???

K da tüti i funziun che a(d)meten límit in x0 l-è un spazi ve(c)torial reaal e l'operaziun da passagg al límit l-è una forma linear reaal sura K.

Si f e g a-inn di funziun da variàbil reaal che a(d)meten límit L e P a x0, alura anca la funziun fg í a(d)met límit, e chest límit l-è LP, inscí ul spazi ve(c)torial K l-è da fatt un'algebra reaal. Si P l-è minga 0, alura sa-poeu truvà un interval intorn a x0 indúa f/g l-è ben definida; ul sò límit a x0 l-è L/P.

Esempi:Modifica

  • Ul límit da   quaand x al-tend a   l-è istess che 0. Ciaav da la demostraziun per  : si  , alura  .
  • Ul límit a drita da   quaand x al-tend a 0 (0+) l-è  .

Ciaav da la demostraziun: si  , alura  .

  • Ul límit a manzina da   quaand x al-tend a 0 (0-) l-è  .
  • Ul límit da   quaand x al-tend a 0 (0+) l-è  .
  • Ul límit da   quaand x al-tend a 3 l-è istess che 9 (In chest cas-chí la funziun l-è definida e contínua in chest punt-chí, e la valur da la funziun l-è istess chel límit). Ciaav da la demostraziun: si  , alura  .
  • Ul límit da   quaand x al-tend a 0 l-è istess che 1.
  • Ul límit da   quaand x al-tend a 0 l-è istess che 2a.
  • Ul límit a drita da   quaand x al-tend a 0 l-è istess che 1; ul límit a manzina l-è igual à -1.
  • Ul límit da   quaand x x al-tend a 0 l-è istess che 1.
  • Ul límit da   quaand x al-tend a 0 l-è istess che 0.
  • Ul límit da   quaand x al-tend a 0 l-è istess che 1/2.
  • Ul límit da   quaand x x al-tend a 0 l-è istess che 2.
  • Ul límit da   quaand x x al-tend a 0 l-è istess che 1.

Lligam??? tra i límit da sequenz(i) e da funziunModifica

Sa-poeu pruvà che   per ogni sequenza   tal che  , i.e. per ogni sequenza convergeent a  .

ComplementsModifica