Antecedent (matematica)

Portal Artícuj relazziunaa a matemàtica
Lombard Occidental Quel articul chì l'è scrivüü in Lumbard ucidental, cun l'urtugrafia ünificada.


DefiniziunModifega

In matematica, daa düü cungiunt minga vöj E, F e una aplicaziun  , se 'l ciama antecedent (cun f) d'un element y de F tücc i element x de E tal che  .

Un antecedent a l'è, dunca, per definiziun, un element de l'imagin recipruca  .

EsempiModifega

  • Sien la funziun   e y un real.
Si y > 0, y l'amet düü antecedent, che hin   e  
Si y = 0, y l'amet dumà un antecedent, che l'è 0
Si y < 0, y l'amet nissün antecedent
  • Sien E un cungiunt minga vöj, e una aplicaziun  , induve   el designa el cungiunt dai part de E. Se 'l definiss   : Y a l'è una part de E, cugnussüü anca cume un element del cungiunt  .
Quest element l'amet nissün antecedent per f. In efet, süpusem che un tal antecedent   l'esista. Se gh'ha dunca  .
Düü cas hin pussibil :
 , vargot che 'l vör dì (per definiziun de Y) che  , o  
 , vargot che 'l vör dì (par definiziun de Y) che  , o  
In di düü cas, se riva a una cuntradiziun , vargot che 'l pröva par l'assürd che Y el gh'ha minga d'antecedent (cf. l'argument de la diagunala de Cantor).

Imagin d'un cungiunt per una aplicaziunModifega

Sien una aplicaziun   e A un sübcungiunt da E. Se la ciama 'imagin de A per f el cungiunt di element y de F che ameten almanch un antecedent partegnind a A ; se la nota  :

 .

In particular, l'imagin de E par f, ciamada imagin de f, a l'è 'l cungiunt di element y da F che ameten almanch un antecedent :

 .

Ingeziun, sürgeziun, bigeziunModifega

La sia un'aplicaziun  .

  • Se dis che f a l’è ingetiva, o che a l'è una ingeziun, se tüt element de F a l'amet al pü un antecedent.
  • Sa dis che f al è sürgetiva, o che a l'è una sürgeziun, se tüt element de F a l'amet almanch un antecedent, i.e. si
 .
  • Sa dis che f l'è bigetiva, o che l'è una bigeziun, si tüt element de F a l'amet un antecedent e dumà vün, i.e. se f l'è cuntempuraneament ingetiva e sürgetiva.
In 'stu caas, se pò definì l'aplicaziun  , induve x a l'è l'ünica antecedent da ‘‘y’’ par f. A l'è anca una bigeziun, ciamada recipruca de f.


(l'esempi vidüü pü in alt el mustra che l'esiist vargüna aplicaziun sürgetiva  ).

Videe ancaModifega