Funziú ulumorfa

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

La Koiné occidentala l'è pu accettada dai regoll de la lmo.wiki, donca l'articol l'è da nettà.

Le funziú ulumorfe i è l'ugett centraal da stüdi da l’anàlisi cumplessa: i è da le funziú definide int un sübcungjuunt deerf dal plà cumpless $\mathbb {C}$ cun valuur a $\mathbb {C}$ (u int una süperfiis da Riemann), e diferenziàbile in sentüü cumpless in töcc i puunt. Chesta chí a l’è una cundizziú fisc plüü forta che la diferenziabilitaa reala e la implica che la funziú a l’è infinidameent diferenziàbila e sa la pöö descriif par la suva séria da Taylor. Ul tèrmin funziú analítica al è druvaa da spess cuma sinònim da "funziú ulumorfa". Una funziú ch’a l’è ulumorfa in tütt ul plà cumpless sa la nòmina funziú intrega. La frasa "ulumorfa int un puunt a" la significa mia noma "diferenziàbila in a", plütòost "diferenziàbila in tütt un diisch deerf centraa in a" íntal plà cumpless. Biulumorfa al è una funziú ulumorfa bigetiva cunt una funziú inversa apó ulumorfa.

Definizziú

Si U al è un sübcungjuunt deerf da $\mathbb {C}$ e $f:U\rightarrow \mathbb {C}$ al è una funziú, disemm che f a l’è "diferenziàbila in sentüü cumpless" íntal puunt z₀ da U si al esiist ul límit

f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}

.

Ul límit chí sa l töö sura tüte le sequenze da nümar "cumpless" tendeent a z₀, e par tüte cheste sequenze ul quozzieent diferenzial al gh’a da sa aprussimá al istess nümar f '(z₀). Intuïtivameent, si f a l’è diferenziàbilaa in sentüü cumpless in z₀ e na aprussimemm a z₀ par la direzziú r, alura le imàgen sa i aprussimarà a f(z₀) par la direzziú f '(z₀) r, indúe ul darée prudüit al è la mültiplicazziú da nümar cumpless. Cheest cuncett da diferenziabilitaa al cumpartiss certe prupietaa cun la diferenziabilitaa reala: che i è:

la linearitaa,
le régule dal prudüit, dal quozzieent e da la cadena.

Si f a l’è diferenziàbilaa in sentüü cumpless in "töcc" i puunt z₀ in U, disemm che f a l’è "ulumorfa in U". Disemm che f a l’è ulumorfa íntal puunt z₀ si a l’è ulumorfa int un intuurn da z₀. Disemm che f a l’è ulumorfa int un cungjuunt mia deerf A si a l’è ulumorfa int un cungjuunt deerf che al cunteegn a A.

Una definizziú equivalenta a l’è la seguenta. Una funziú cumplessa f(x + iy) = u + iv a l’è ulumorfa si e noma si la satisfà le equazziú da Cauchy-Riemann e u e v i la gh’a le prime derivade parziale cuntínüe par rapòort a a x e y.

Esempi

Tüte le funziú polinòmiche in z cun cueficeent cumpless i è ulumorfe in $\mathbb {C}$ , e apó al i è ul sinus, ul cosinus e la funziú espunenziala. (Da fatt le funziú trigonométriche i è fisc relazziunade cun la funziú espunenziala e i pöö vess definide a partí da chesta duvraant la formula d'Euler). La branca principala da la funziú lugariitm a l’è ulumorfa íntal cungjuunt $\mathbb {C} -\{z\in \mathbb {R} :z\leq 0\}$ . La funziú ariis quadrada sa la pöö definí cuma

{\sqrt {z}}=e^{{\frac {1}{2}}\ln z}

e par taant a l’è ulumorfa in cada àrea indúe al síes ul lugariitm $\ln(z)$ . La funziú 1/z a l’è ulumorfa in {z : z ≠ 0}.

Esempi típich da funziú che i è mia ulumorfe i è la cunjugazziú cumplessa e töö la paart reaal.

Prupietaa

Gja che la diferenziazziú cumplessa a l’è lineara e la ubediss a le régule dal prudüit, dall quozzieent e da la cadena, le sume, i prudüit e cumpusizziú da funziú ulumorfe i è ulumorfe, e ul quozzieent da dò funziú ulumorfe al è ulumòorf in cada àrea indúe ul denuminaduur al è mia zero.

Cada funziú ulumorfa a l’è infinidameent diferenziàbila in töcc i puunt. La cuinciit cun la suva pròpia séria da Taylor e la séria da Taylor la cunveerg in töcc i diisch deerf deent al domini U. Le série da Taylor i pöö cunveerg int un diisch plüü graant; par esempi, la séria da Taylor dal lugariitm la cunveerg in töcc i diisch ch’i cuntegn mia 0, e apó aprööf la línia reala negativa. Vidé le funziú ulumorfe i è analítiche par la demustrazziú.

Si sa l identifica $\mathbb {C}$ cun $\mathbb {R} ^{2}$ , alura le funziú ulumorfe i cuinciit cun chele funziú $\mathbb {R}$ -diferenziàbil da dò variàbile reale che i cumpiss le equazziú da Cauchy-Rieman, un cungjuunt da dò equazziú diferenziale in derivade parziale.

Aprööf di puunt da derivada difereent da zero, le funziú ulumorfe i è cunfurme íntal sentüü che i preserva i àngul e la furma (però mia la misüra) da figüre petite.

La fórmüla integrala da Cauchy la afirma che cada funziú ulumorfa int un diisch a l’è cumpletameent determinada paj söö valuur in la fruntera dal diisch.

Da un puunt da vista algebràich ul cungjuunt da le funziú ulumorfe int un cungjuunt deerf al è un anell cumütatiif e un spazzi veturiaal cumplett. Da fatt, al è un spazzi veturiaal tupulògich lucalameent cunvess, cun la seminorma dal süpremm in cungjuunt cumpatt.

Diverse variàbile

Una funziú analítica cumplessa da diverse variàbile cumplesse sa la definiss cuma analítica e ulumorfa int un puunt si sa la pöö esteent lucalameent (int un prudüit cartesià da diisch, centraa in cheest puunt) a una séria da potenze cunvergeent in le variàbil. Chesta cundizziú a l’è plüü forta che le equazziú da Cauchy-Rieman; da fatt sa pöö afirmá che:

Una funziú da diverse variàbile cumplesse a l’è ulumorfa si e noma si satisfà le equazziú da Cauchy-Rieman e a l’è lucalameent da quadraa integràbil.

Estensiú a l'anàlisi funziunala

Ul cuncett da funziú ulumorfa sa l pöö esteent aj spazzi da dimensiú infinide da l’anàlisi funziunala. L'artícul da la derivada da Fréchet al revisa ul cuncett da funziú ulumorfa int un spazzi da Banach.

Terminulugía

Incöö, la plüpaart di matemàtich i preferiss ul tèrmin "funziú ulumorfa" a "funziú analítica", gja che cheest darée al è un cuncett plüü generaal. Vargott al è apó par che un resültaa impurtaant da l’anàlisi cumplessa al diis che cada funziú ulumorfa a l’è analítica cumplessa, un fatt che s’al dedüiss mia diretameent da le definizziú. Ul tèrmin "analítich" al è da tüta manera anmò ampiameent druvaa.

La parola "ulumorfa" la deriva dal Greech "holos" ch’al significa "intreegh" e "morphe" che significa "furma" u "aparenza".