Süperfiis da Riemann

Quest articol chi l'è scrivuu in Koiné occidentala.

La Koiné occidentala l'è pu accettada dai regoll de la lmo.wiki, donca l'articol l'è da nettà.

In matemàtica, particülarameent in anàlisi cumplessa, una Süperfiis da Riemann, inscí cjamada dapress Bernhard Riemann, a l'è una varietaa cumplessa a una dimensiú. Le süperfiis da Riemann i pöö vess pensade cuma versiú defurmade dal plà cumpless: lucalameent, intuurn a cada puunt, i sembra cuma di pezz dal plà cumpless, però la tupulugía glubala la pöö parí assée diferenta. Par esempi, i pöö sembrá cuma una sfera, un torus u un para da fööj tacaa insema. Ul puunt principaal de le süperfiis da Riemann al è che i sa pöö definí le funziú ulumorfe tra da lure: da plüü, i è cunsiderade ul cunteest natüraal par stüdiá ul cumpurtameent glubaal da cheste funziú, spescjalameent le funziú a plüü valuur cuma la ariis quadrada u ul lugariitm.

Cada süperfiis da Riemann a l'è una varietaa reala analítega a dò dimensiú, però la cuntegn plüü da strütüra, i.e. una strütüra cumplessa, da che a gh'è büsögn par una desambígua definizziú da le funziú ulumorfe. Una varietaa reala analítega a dò dimensiú la pöö vess trasfurmada int una süperfiis da Riemann, generalmeent int un bell puu da manere mia equivalente, si e noma si la è urientàbila.

Inscí la sfera e ul torus i amett de le strütüre cumplesse, però la banda da Möbius, la buteja da Klein e ul plà prujetiif no.

I fatt geumétrich sü le süperfiis da Riemann è inscí bú cuma pussíbil, e, da spess, i pruveet l'intüizziú e la mutivazziú par de le generalizazziú a otre cürve u varietaa. Ul teurema da Riemann-Roch al è un esempi impurtaant da chesta inflüenza.

Definizziú furmala

Al síes X un spazzi da Hausdorff. Un omeumurfiism da un sübcugjuunt deerf U⊂X a un sübcungjuunt da C al è cjamaa una carta. Dò carte f e g da che i dumini sa i interseca i è cumpatíbile se le mape $f\circ g^{-1}$ e $g\circ f^{-1}$ i è ulumorfe sura i söö dumini. Si A a l'è una culezziú da carte cumpatíbile e cada x in X al è íntal dumini da vargüna f in A, alura a disemm che A al è un atlaant. Cura ca nüü gjuntemm a X un atlaant A, a disemm che (X, A) a l'è una süperfiis da Riemann. Si l'atlaant al è sotaintendüü , simplismeent a disemm che X a l'è una süperfiis da Riemann.

Di atlaant difereent i pöö uriginá essenzialameent l'istessa strütüra da süperfiis da Riemann sü X; par evitá chesta ambigütaa, sa dumanda che l'atlaant al síes massimaal, íntal sentüü ch'al síes mia cuntegnüü in vargü òolt atlaant. Cada atlaant A al è cuntegnüü int un ünegh atlaant massimaal pal Lema da Zorn.

Esempi

Ul plà cumpless C al è forsi la plüü sémplis süperfiis da Riemann, La mapa identitaa f(z) = z la definiss una carta par C e {f} al è una atlaant par C.
Da manera anàluga, cada sübcungjuunt deerf d'una süperfiis da Riemann al è in tuurn una süperfiis da Riemann.
Al síes S = C ∪ {∞} e: f(z) = z si z al è in S \ {∞}; g(z) = 1 / z cun z in S \ {0} e 1/∞ al è definii 0. Alura f e g i è de le carte cumpatíbile e { f, g }

al è un atlaant par S ch'al la fa una süperfiis da Riemann. Chesta particülara süperfiis da Riemann a l'è cjamada Sfera da Riemann par che la pöö vess interpretada cuma ul plà cumpless atuurn la sfera. Al cuntrari dal plà, la sfera a l'è cumpata.

La teuría de le süperfiis da Riemann cumpate la pöö vess mustrada equivalenta a chela de le cürve algebràiche prujetive definide sura i nümar cumpless e mia-singülare. Di esempi impurtaant da süperfiis da Riemann mia cumpate i è furnii da la cuntinuazziú analítica.

Prupietaa e otre definizziú

Una funziú f : M → N intra dò süperfiis da Riemann a l'è cjamada ulumorfa si, par cada carta g íntal atlaant da M e cada carta h íntal atlaant da N, la mapa $h\circ f\circ g^{-1}$ a l'è ulumorfa indúe ch'a la síes definida. La cumpusizziú da dò mape ulumorfe a l'è ulumorfa.

Dò süperfiis da Riemann M e N i è cjamade cunfurmameent equivalente si al esiist una funziú ulumorfa bigetiva da M a N (Cheest al implica che apó l'inversa la síes ulumorfa). Dò süperfiis da Riemann cunfurmameent equivalente i è sustanzialameent idénteghe.

Cada süperfiis da Riemann simplameent cunessa a l'è cunfurmamaeent equivalenta a vöna de le tré seguente:

C, ul plà cumpless
C ∪ {∞} la sfera da Riemann
{z ∈ C : |z| < 1} ul diisch ünitaa deerf.

Cheest enuncjaa al è cugnussüü cuma teurema d'ünifurmizazziú da Riemann.

Cada süperfiis da Riemann cunessa la pöö vess girada int una varietaa Riemanniana 2-dimensiunala reala a cürvatüra custanta -1, 0 u 1. La strütüra Riemanniana a l'è ünega a maanch da mültipel da la métrica. Le süperfiis da Riemann a cürvatüra -1 i è cjamade iperbòleghe; ul diisch deerf cun la métrica da Poincaré da cürvatüra custanta -1 al è ul mudell lucaal canònegh. Esempi i è tüte le süperfiis cun genus g>1. I süperfiis da Riemann a cürvatüra 0 i è cjamade parabòleghe; C e ul 2-torus i è de le típeghe süperfiis da Riemann parabòleghe. In fí, le süperfiis da Riemann a cürvatüra +1 i è cjamade elítighe: la sfera da Riemann ∪ {∞} a l'è l'ünegh esempi.

Par cada süperfiis da Riemann parabòlega sarada, ul grupp fundamentaal al è isumòrfich al grupp làtes da raanch 2, e par taant la süperfiis la pöö vess fada sü cuma C/Γ, indúe C al è ul plà cumpless e Γ ul grupp làtes. Cada representatiif d'una classa d'equivalenza (u co-cungjuunt, eng. coset) al è cjamaa dumini fundamentaal.

Da manera símila, par cada süperfiis da Riemann iperbòlega, ul grupp fundamentaal al è isumòrfich a un grupp fuchsià e la süperfiis la pöö vess mudelada par un mudell fuchsià H/Γ indúe H al è ul semiplà süperiuur e Γ ul grupp fuchsià. Cada representatiif d'una classa d'equivalenza (u co-cungjuunt, eng. coset) al è cjamaa cungjuunt regülaar líbar e al pöö vess mudelaa int un pulígun fundamentaal métrich.

Cura ca una süperfiis iperbòlega a l'è cumpata, alura l'àrea tutala a l'è $4\pi (g-1)$ , indúe g al è ul genus da la süperfiis; l'àrea a l'è utegnüda aplicant ul teurema da Gauss-Bonnet a l'àrea dal puligün fundamentaal.

A emm nutaa íntal preàmbul che tüte le süperfiis da Riemann i è urientàbile cuma varietaa reale. La resú a l'è che, par de le carte cumplesse f e g cun funziú da transizziú h = f(g^-1(z)) , a pudemm cunsiderá h cuma una mapa de le varietaa reale sotastante. Ul sò Jacobià int un puunt z al è gjüüst la mapa lineara dada da la mültiplicazziú par la derivada cumplessa h'(z). Da tüta manera, ul detereminaant reaal da la mültiplicazziú par un nümar cumpless α al è iguaal a |α|^2, inscí al è pusitiif, vargott ch'al implica che l'atlaant cumpless al è urientaa.

Funziú

Cada süperfiis da Riemann mia cumpata a l'amett funziú ulumorfe mia custante (a valuur in $\mathbb {C}$ ). Da fatt a l'è una varietaa da Stein.

Al cuntrari, sü una süperfiis da Riemann cumpata cada funziú ulumorfa a valuur in $\mathbb {C}$ al è custanta, grazzia al principi dal màssim, però i esiist sémpar de le funziú mermumorfe mia custante.

In art and literature

One of M.C. Escher's works, Print Gallery, is laid out on a cyclically growing grid that has been described as a Riemann surface.
In Aldous Huxley's novel Brave New World, "Riemann Surface Tennis" is a popular game.

Vidée apó

Referenze

Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4
Jürgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X
Modell:Planetmath reference