Funziun merumorfa

Chest artícul al è scrivüü in lumbaart, con la grafia LSI.

In anàlisi cumplessa, una funziùn merumorfa $f$ sü un sotainsema deerf dal plan cumpless, a l'è una funziùn ulumorfa sü tütt D maanch un insema da puunt isulaa, numenaa i pool da la funziùn. Chi sa dumanda che $1/f$ la sies ulumorfa e la vàrghes 0.

Cada funziùn merumorfa sü D la pöö vess espressada cuma ul rapoort intra dò funziùn ulumoorf (cun denuminaduur mia custaant 0) definiit sü D: i pool alura i ucüür a i ariis dal denuminaduur.

La Funziùn Gamma a l'è meurmorfa sü tütt ul plan cumpless

Intüitivameent alura, una funziùn merumorfa a l'è la ratio da dò bunn funziùn ulumoorf. Una taal funziùn la sarà anmò "buna", eceet ai puunt intue ul denuminaduur da la frazziùn al è zero: chì la valuur da la funziùn la sarà infinit.

Da un punt da vista algebràich, si D al è cuness, alura l'insema di funziùn merumoorf al è ul caamp di frazziùn dal dumini integraal dal insema di funziùn ulumoorf, anàlugameent a la custrüzziùn da $\mathbb {Q}$ a partì da $\mathbb {Z}$.

Esempi

• Tüti i funziùn razziunaal, cuma adess

f(z) = (z³ − 2z + 1)/(z⁵ + 3z − 1)

i è merumoorf sül plan cumpless.

• I funziun

f(z) = exp(z)/z and f(z) = sin(z)/(z − 1)²

inscì cuma la Funziùn Gamma e la Funziùn Zeta da Riemann i è merumoorf sül plan cumpless.

• La funziun

f(z) = exp(1/z)

a l'è definida sü $\mathbb {C} \setminus \{0\}$. Da tüta manera, 0 al è mia un pool da la funziùn, plütoost una singülaritaa essenziala, par che $1/f$ al è mia ulumorfa a 0. Però f a l'è ulumorfa sü $\mathbb {C} \setminus \{0\}$.

• La funziùn f(z) = ln(z) a l'è mia merumorfa sül plan cumpless, par che la pöö mia ga vess definida. La cuntinuazziùn anàlitica la da lööch a una funziùn definida sü una süperfiis da Riemann.

Prupietaa

Già che i pool d'una funziùn merumorfa i è isulaa, ul sò insema al è al plüü cuntàbil. L'insema di pool al pöö vess infinii, cuma mustraa da l'esempi:

f(z)=1/sin(z).

Cul duvrà la cuntinuazziùn analìtica par eliminà i singülaritaa evitàbil, i funziùn merumoorf i pöö vess sumaat, sütraat, mültiplicaat e la frazziùn f/g la pöö vess furmada, a maanch che g(z) = 0 sü una cumpuneent cunessa da D. Dunca, si D al è cuness, i funziùn merumoorf i furma un caamp, da fatt una estensiùn di nümar cumpless.

Funziùn merumoorf sura süperfiis da Riemann

Sü una Süperfiis da Riemann cada puunt al amett un intuurn deerf isumòrfich a un sotainsema deerf dal plan cumpless. Dunca la nuzziùn da funziùn merumòrfa la pöö vess definida par tüti i süperfiis da Riemann.

Süra na Süperfiis da Riemann tuci i pönch li gà n'toren uvert ca le isomorfec a un sotensema d'ol pian compless. Par 'sta rasun chilò la nuzziùn da funziùn merumòrfa la po vess definida par tuci li Süperfiisi da Riemann.

Cura ca D a l'è l'intrega Sfera da Riemann, ul caamo di funziùn merumoorf al è simplameent ul caamp di funziùn razziunaal sura ul caamp cumpless, già che sa pöö pruva che qual-sa-vöör funziùn merumorfa sü la sfera a l'è razziunala. (Cheest-chì al è un caas spesciaal dal inscì ciamaa principi GAGA).

Par cada süperfiis da Riemann, una funziùn merumorfa a l'è l'istess che una aplicazziùn ulumorfa ch'a la mapa sü la sfera da Riemann $\mathbb {C} \bigcup \infty </infty>$, e ch'a l'è mia custaant $\infty </infty>$. I pool i curespuunt ai puunt mapaa sura $\infty </infty>$.

Sü una süperfiis da Riemann mia cumpata cada funziùn merumorfa la pöö vess realizada cuma un rapoort da dà funziùn ulumoorf glubalmeent definiit. Par cuntra, sü una süperfiis da Riemann cumpata, cada funziùn ulumorfa a l'è custaant, cura ca i esiist sempru di funziùn ulumoorf mia custaant.

I funziùn merumoorf sü una cürva elìtica i è apó cugnussüüt cuma funziùn elìtich.

Dimensiùn plüü olta

In Divèers variàbil cumpless, una funziùn merumorfa a l'è definida vess lucalameent un rapoort da dò funziùn ulumoorf. Par esempi, f(z₁,z₂)=z₁/z₂ a l'è una funziùn merumorfa sül spazzi cumpless afin dü-dimensiunaal. Chì al è mia plüü vera che una funziùn merumorfa a l'è l'istess che una aplicazziùn ulumorfa ch'a la mapa sü la sfera da Riemann: a gh'è un insema d'indeterminazziùn da cudimensiùn dü, in tal esempi, l'urìgen (0,0).

Al cuntrari che in dimensiùn vün, in dimensiùn plüü olta i esiist di varietaa cumpless sü che i esiist no di funziùn merumoorf mia custaant.

Refereenz

• Lars Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Education, ISBN 0-07-085008-9
• Serge Lang, Complex Analysis, Springer, 2003. ISBN 0-387-98592-1.