Elicità idrodinamica

Quest articol chì l'è scrivuu in lombard, grafia milanesa.

In fluidodinamica, l’elicità idrodinamica a l’è, sòta cèrt condizion, on'invarianta di equazion de l’Eulero del fluss di flùid, che la gh’hà come interpretazion topologica la misura del ligamm o de la groppidura di lìnej de vòrtes de on fluss.

Formalismo matematich

Mettèmm che $\mathbf {u} (x,t)$a l’è el camp de la velocità e $\nabla \times \mathbf {u}$ el sò camp de la vorticità. Sòta sti trii condizion chì, i lìnej hinn trasportàa del sistèma:

1. el flùid a l’è minga scarighent;
2. el flùid el se pò nò comprimm ($\nabla \cdot \mathbf {u} =0$) oppur el se pò comprimm con la relazion barotròpica $p=p(\rho )$ tra la pression $p$ e la densità $\rho$;
3. i fòrz che agìssen in sul fluìd hinn conservativ.

Sòta quèj condizion chì, ògni superfice ciusa $S$ ch’in su de lee $n\cdot (\nabla \times \mathbf {u} )=0$ a l’è, compagn de la vorticità, trasportàda del fluss.

Sia $V$ el volumm denter in quèla superfice chì; alora l'elicità $H$ in quèll volumm chì a l’è definida de:

$H=\int _{V}\mathbf {u} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {u} \right)\,dV\;.$

Per ona distribuzion determinada de la vorticità dent ind on fluid minga confinàa, se pò considerà come $V$ tutt el spazzi e $H$ a l’è alora l'elicità totàl del fluss. $H$ a l’è invarianta de già che i lìnej de vorticità hinn congelàa in del flusso e ’l sò ligamm e la groppidora hinn donca conservàa, come reconossùu giamò del Lord Kelvin in del 1868. L'elicità a l’è ona quantità pseudo-scalà de già che la cambia el sò segn cont el varià del sistèma de riferiment second che ‘l sia quèll che ’l gira a dritta o sinistra; la pò donca vèss considerada ona misura de la chiralità del fluss. L'elicità, insèma a l'energia, a la quantità de mòto e al moment angolar, hinn i ùnegh invariant integral conossùu di equazion de l’Eulero.

Per du tubi de vorticità con ligamm ma senza incroseggiadur che gh’hann di circolazion $\kappa _{1}$ e $\kappa _{2}$ senza torsion dedenter, l'elicità a l’è dada de

$H=\pm 2n\kappa _{1}\kappa _{2}$,

indoe $n$ a l’è el numer de incroseggiadur di du tubi, inveci el segn pu o el segn manc dipenden de fat che el ligamm el sia girant a dritta o a sinsistra.

Per on tubo de vorticità con domà vun gropp e ona circolazion $\kappa$, l'elicità a l’è dada de

$H=\kappa ^{2}(Wr+Tw)$,

indoe $Wr$ e $Tw$ hinn la primma i storgiment e l’altra i torsion del tubo. La sòma $Wr+Tw$ a l’è invarianta sòta ona deformazion continua del tubo.

L'invarianza de l'elicità a l’è on pont fondamental de la fluidodinamica topologica de la magnetoidrodinamica, conligada ai proprietà globaj di fluss e di sò caratteristich topològich.

Meteorologia

In meteorologia, l'elicità a l’è el trasferiment de vorticità da l’ambient vèrs ona partìcola d'aria in mòto convettivo. La definizion matematica semplificada de elicità che la dopera domà la componenta orizzontal del vent e la vorticità a l’è:

$H=\int {{\vec {V}}_{h}}\cdot {\vec {\zeta }}_{h}\,d{\mathbf {Z} }=\int {{\vec {V}}_{h}}\cdot \nabla \times {\vec {V}}_{h}\,d{\mathbf {Z} }\qquad \qquad {\begin{cases}Z=Altitude\\{\vec {V}}_{h}=Horizontal\ velocity\\{\vec {\zeta }}_{h}=Horizontal\ vorticity\end{cases}}$

Second quèsta formola chì, se on vent orizzontal el cambia nò direzion con l’altèzza, H la sarà semper ègual de zero de già che $V_{h}$ e $\nabla \times V_{h}$ hinn perpendicolar intra de lor e quèste l fa diventà zero el sò prodòtt scalà. H a l’è inveci positìv se le vent el gira in séns orari come ch’a se va su in altèzza, negativ se ‘l pirla in sèns anti-orari. LA misrua de l'elicità doprada in meteorologia l’è ona unità de energia per unità de massa (${m^{2}}/{s^{2}}$) e donca la ven interpretada ‘me na misura del trasferiment de energia fàa de la fòrbes del vent con l'altèzza e la direzionalità.

Elicità relativa al temporal (SRH)

Quèll concètt chì de elicità a l’è doprà per prevedè la possibilitàa de formazion de borineri ind on temporal. In quèll caso chi, l’intergrazion vertical a l’è fada domà in di prìmm 1 km o 3 km e la componenta orizzontal del vent la ven calcolada relativament al temporal men la velocità che chesschì el va innanz:

$SRH=\int {\left({\vec {V}}_{h}-{\vec {C}}\right)}\cdot \nabla \times {\vec {V}}_{h}\,d{\mathbf {Z} }\qquad \qquad {\begin{cases}{\vec {C}}=Cloud\ motion\ to\ the\ ground\end{cases}}$

In di USA i valor critich de "elicità relativa a ona boriana" SRH o SREH (Storm Relative Helicity) per el svilupp de borineri hinn:

• SRH = 150-299 ... possibil formazion de super-cèllul con di borineri debol second la scala Fujita
• SRH = 300-499 ... molto favorevol a la formazion de supercèll e borineri fòrt
• SRH > 450 ... borineri violent
• Se la ven doprada domà sòta el primm chilometro de altèzza, el valor de soeuja minima a l’è fissàa a 100.

Indes de elicità e energia (EHI)

Tuttamanch l’elicità l'è nò l’ùnega componenta di fòrt temporaj, e per quèlla reson chì a l’è stàa creà l’indes elicità e energia (EHI, Energy Helicity Index) ch’a l’è dàa del prodòtt dell'SRH per l'energia potenzial convettiva disponibil CAPE (Convective Available Potential Energy) e dividùu per on valor de soeuja:

$EHI={\frac {SRH\cdot CAPE}{160000}}$

Chèsschì el gh’hà denter minga domà l'elicità, ma anca l'energia de la partìcola d'aria de manera de tajà foeura di casi de bassa possibilità de temporal anca in region con SRH alt. I valor critich de EHI hinn:

• EHI = 1 ... borineri possibil
• EHI = 1-2 ... borineri da moderaa a fòrt
• EHI > 2 ... fòrt borineri

Bibliografia

• Batchelor, G.K., (1967, reprinted 2000) An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge Univ. Press
• Ohkitani, K., Elementary Account Of Vorticity And Related Equations. Cambridge University Press. January 30, 2005. ISBN 0-521-81984-9
• Chorin, A.J., Vorticity and Turbulence. Applied Mathematical Sciences, Vol 103, Springer-Verlag. March 1, 1994. ISBN 0-387-94197-5
• Majda, A.J. & Bertozzi, A.L., Vorticity and Incompressible Flow. Cambridge University Press; 1st edition. December 15, 2001. ISBN 0-521-63948-4
• Tritton, D.J., Physical Fluid Dynamics. Van Nostrand Reinhold, New York. 1977. ISBN 0-19-854493-6
• Arfken, G., Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Academic Press, Orlando, FL. 1985. ISBN 0-12-059820-5
• Moffatt, H.K. (1969), The degree of knottedness of tangled vortex lines. J. Fluid Mech. 35, pp. 117–129.
• Moffatt, H.K. & Ricca, R.L. (1992), Helicity and the Cǎlugǎreanu Invariant. Proc. R. Soc. Lond. A, 439, pp. 411–429.
• Thomson, W. (Lord Kelvin) (1868), On vortex motion. Trans. Roy. Soc. Edin.. 25, pp. 217–260.

Vos correlaa

• Vorticità
• Chiralità (fisica)
• Teoria di gropp